(2,0 pts.) O campo vetorial é \mathbf{F}(x, y, z)=(y, z, x)… Seja C a interseção do plano x+y+z=1 com o cilindro x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido anti-horário visto de cima. Calcule
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} .

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y,z)=(y,z,x) e C é a curva de interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano x+y+z=1, orientada no sentido anti-horário visto do eixo z positivo. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é uma superfície cujo bordo é C e \mathbf{n} é a normal escolhida conforme a orientação de C.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \mathbf{F}:
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\frac{\partial x}{\partial y}-\frac{\partial z}{\partial z}\,,\, \frac{\partial y}{\partial z}-\frac{\partial x}{\partial x}\,,\, \frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial y}{\partial y}\Bigr) =(-1,\,-1,\,-1).

Passo 3

Escolhemos S como a parte do plano x+y+z=1 para dentro do cilindro. Uma normal não unitária desse plano é (1,1,1); a normal unitária com componente z>0 é
\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,1,1).
Como C é percorrida anti-horário vista de cima, esta normal está correta para aplicar Stokes.

Passo 4

O produto escalar é
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} =(-1,-1,-1)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) =-\frac{3}{\sqrt{3}} =-\sqrt{3}.
Então
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =-\sqrt{3}\,\iint_{S}dS.

Passo 5

Para obter \iint_{S}dS, projetamos S no plano xy. Se D é o disco x^2+y^2\le1, sabe-se que
dS=\frac{1}{\mathbf{n}\cdot\mathbf{k}}\,dA =\frac{1}{1/\sqrt{3}}\,dA =\sqrt{3}\,dA.
Logo
\iint_{S}dS =\sqrt{3}\,\iint_{D}dA =\sqrt{3}\,\pi.
Assim
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =-\sqrt{3}\times(\sqrt{3}\,\pi) =-3\pi.

Resposta

\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-3\pi.

Exercícios relacionados