(2,0 pts.) O campo vetorial é
… Seja
a interseção do plano
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário visto de cima. Calcule
Passo 1
O enunciado pede o integral de linha
onde
e
é a curva de interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário visto do eixo
positivo. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
onde
é uma superfície cujo bordo é
e
é a normal escolhida conforme a orientação de
.
Passo 2
Calculamos o rotacional de
:
Passo 3
Escolhemos
como a parte do plano
para dentro do cilindro. Uma normal não unitária desse plano é
; a normal unitária com componente
é
Como
é percorrida anti-horário vista de cima, esta normal está correta para aplicar Stokes.
Passo 4
O produto escalar é
Então
Passo 5
Para obter
, projetamos
no plano
. Se
é o disco
, sabe-se que
Logo
Assim