Usando indução, prove que \left|x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right| \leq\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|, quaisquer que sejam os números x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}. ( 0,1 \mathrm{pt} )

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que para quaisquer números reais x_{1},\dots,x_{n} vale a desigualdade triangular estendida
\left|x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right|\;\le\;|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots+|x_{n}|.
Para isso vamos usar como passo indutivo a desigualdade triangular básica \bigl|a+b\bigr|\le|a|+|b|
e a técnica de indução.

Passo 2

Base da indução n=1.
Quando só há um termo, a afirmação diz
\bigl|x_{1}\bigr|\le|x_{1}|,
o que é claro, pois é uma igualdade.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para algum k\ge1 já seja verdade que
\bigl|x_{1}+\cdots+x_{k}\bigr|\le|x_{1}|+\cdots+|x_{k}|.
Queremos mostrar que então também \bigl|x_{1}+\cdots+x_{k}+x_{k+1}\bigr|\le|x_{1}|+\cdots+|x_{k+1}|.
Escreva
S = x_{1}+\cdots+x_{k},
então
x_{1}+\cdots+x_{k}+x_{k+1} = S + x_{k+1}.
Pela desigualdade triangular de dois termos
\bigl|S + x_{k+1}\bigr|\le|S|+|x_{k+1}|.
Mas pela hipótese de indução \bigl|S\bigr|\le|x_{1}|+\cdots+|x_{k}|. Substituindo, obtemos
\bigl|x_{1}+\cdots+x_{k}+x_{k+1}\bigr| \le\bigl|x_{1}\bigr|+\cdots+\bigl|x_{k}\bigr|+|x_{k+1}|,
que é exatamente a desigualdade desejada para n=k+1.

Resposta

Pela base e pelo passo indutivo, por princípio da indução matemática, conclui-se que para todo n\in\mathbb{N} e quaisquer reais x_{1},\dots,x_{n} vale
\boxed{\displaystyle\bigl|x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\bigr|\;\le\;|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots+|x_{n}|.}

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