Avalie a convergência das sequências abaixo:
b_{n}=\frac{n^{4}}{n^{3}-2 n}

Passo 1

O enunciado define a sequência
b_{n} = \frac{n^{4}}{n^{3} - 2\,n}
e pede para determinar se ela converge. Vamos usar o método de comparação dos graus de polinômios em numerador e denominador para avaliar o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Para identificar o comportamento dominante, dividimos numerador e denominador por n^{3}, a maior potência que aparece no denominador:
b_{n} = \frac{n^{4}}{n^{3} - 2\,n} = \frac{\displaystyle\frac{n^{4}}{n^{3}}}{\displaystyle\frac{n^{3} - 2\,n}{n^{3}}} = \frac{n}{1 - \frac{2}{n^{2}}}.

Passo 3

Agora analisamos o limite
\lim_{n\to\infty} b_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{1 - \tfrac{2}{n^{2}}}.
Como \frac{2}{n^{2}}\to0 quando n\to\infty, o denominador tende a 1 e o numerador tende a +\infty. Logo
\lim_{n\to\infty} b_{n} = +\infty.

Passo 4

Concluímos que a sequência não converge para um valor finito: ela diverge para +\infty.

Resposta

A sequência diverge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}=+\infty.

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