Escreva uma quantidade suficiente de termos das sequências dadas pelas fórmulas recursivas de modo que seja possível estimar um limite
a_{1}=\sqrt{2} e a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_{1} = \sqrt{2}, \quad a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}}.
O objetivo aqui é calcular vários termos de forma a observar a estabilização dos valores e, assim, estimar o limite da sequência.

Passo 2

Começamos calculando os três primeiros termos explicitamente e aproximando em quatro casas decimais:
a_{1} = \sqrt{2} \approx 1{,}4142,
a_{2} = \sqrt{2 + a_{1}} = \sqrt{2 + 1{,}4142} = \sqrt{3{,}4142} \approx 1{,}8478,
a_{3} = \sqrt{2 + a_{2}} = \sqrt{2 + 1{,}8478} = \sqrt{3{,}8478} \approx 1{,}9616.

Passo 3

Prosseguimos com mais dois termos para ver a tendência de convergência:
a_{4} = \sqrt{2 + a_{3}} = \sqrt{2 + 1{,}9616} = \sqrt{3{,}9616} \approx 1{,}9904,
a_{5} = \sqrt{2 + a_{4}} = \sqrt{2 + 1{,}9904} = \sqrt{3{,}9904} \approx 1{,}9976.

Passo 4

Calculamos mais alguns termos até que a variação seja mínima:
a_{6} = \sqrt{2 + a_{5}} = \sqrt{2 + 1{,}9976} = \sqrt{3{,}9976} \approx 1{,}9994,
a_{7} = \sqrt{2 + a_{6}} = \sqrt{2 + 1{,}9994} = \sqrt{3{,}9994} \approx 1{,}9998.

Passo 5

Observando os valores \,1{,}4142,\;1{,}8478,\;1{,}9616,\;1{,}9904,\;1{,}9976,\;1{,}9994,\;1{,}9998,
vê-se que a sequência cresce e se aproxima de 2. A diferença entre a_{7} e a_{6} já é da ordem de 10^{-4}, mostrando que o limite é aproximadamente 2.

Resposta

Os primeiros termos aproximados são: a_{1}\approx1{,}4142,\;a_{2}\approx1{,}8478,\;a_{3}\approx1{,}9616,\;a_{4}\approx1{,}9904,\;a_{5}\approx1{,}9976,\;a_{6}\approx1{,}9994,\;a_{7}\approx1{,}9998.
Logo, o limite estimado da sequência é
\lim_{n\to\infty}a_{n}\approx2.

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