Escreva uma quantidade suficiente de termos das sequências dadas pelas fórmulas recursivas de modo que seja possível estimar um limite
a_{1}=3 e a_{n+1}=2\left(a_{n}+1\right)

Passo 1

O enunciado define a sequência recursiva com
a_{1}=3,\quad a_{n+1}=2\bigl(a_{n}+1\bigr),
e pede que listemos termos suficientes para estimar o comportamento quando n\to\infty. O conteúdo aqui é análise de sequência recursiva por cálculo explícito dos primeiros termos.

Passo 2

Calculando os primeiros termos temos: a_{2}=2\bigl(3+1\bigr)=8, a_{3}=2\bigl(8+1\bigr)=18, a_{4}=2\bigl(18+1\bigr)=38, a_{5}=2\bigl(38+1\bigr)=78, a_{6}=2\bigl(78+1\bigr)=158, a_{7}=2\bigl(158+1\bigr)=318, …
Logo os termos são
3,\;8,\;18,\;38,\;78,\;158,\;318,\;\dots

Passo 3

Observamos que a cada passo o termo aproximadamente dobra (mais um acréscimo constante), de modo que os valores crescem sem limite. Portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

Resposta

Os primeiros termos são
3,\;8,\;18,\;38,\;78,\;158,\;318,\;\dots
e a sequência diverge, isto é,
\lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

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