Avalie 6 C+\sqrt{3} D para C=\frac{\tan 40^{\circ} \csc 40^{\circ}}{\csc 50^{\circ} \operatorname{sec} 60^{\circ}} e D=\frac{\sin ^{2} 15^{\circ}+\sin ^{2} 75^{\circ}}{\sin 30^{\circ} \sin 60^{\circ} \sin 90^{\circ}}

Passo 1

O enunciado pede avaliar a expressão
6C + \sqrt{3}\,D
com
C = \frac{\tan 40^\circ \,\csc 40^\circ}{\csc 50^\circ \,\operatorname{sec} 60^\circ} \quad\text{e}\quad D = \frac{\sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ}{\sin 30^\circ \,\sin 60^\circ \,\sin 90^\circ}.
Para isso, usaremos identidades trigonométricas básicas, cofunções (como \sin(90^\circ - x)=\cos x) e valores exatos de ângulos notáveis.

Passo 2

Simplificamos C.
O numerador fica
\tan 40^\circ \,\csc 40^\circ = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}\;\frac{1}{\sin 40^\circ} = \frac{1}{\cos 40^\circ} = \operatorname{sec} 40^\circ.
O denominador é
\csc 50^\circ \,\operatorname{sec} 60^\circ = \frac{1}{\sin 50^\circ}\;\frac{1}{\cos 60^\circ} = \frac{1}{\sin 50^\circ}\cdot 2 = \frac{2}{\sin 50^\circ}.
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C = \frac{\operatorname{sec} 40^\circ}{2/\sin 50^\circ} = \frac{\operatorname{sec} 40^\circ\,\sin 50^\circ}{2}.
Como \sin 50^\circ=\cos 40^\circ, segue \operatorname{sec} 40^\circ\,\sin 50^\circ=1. Portanto
C=\frac12.

Passo 3

Agora D. No numerador
\sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ = \sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ =1.
No denominador
\sin 30^\circ \,\sin 60^\circ \,\sin 90^\circ = \frac12\;\frac{\sqrt3}{2}\;1 = \frac{\sqrt3}{4}.
Assim
D = \frac{1}{\sqrt3/4} = \frac{4}{\sqrt3} = \frac{4\sqrt3}{3}.

Passo 4

Finalmente
6C + \sqrt{3}\,D = 6\cdot\frac12 + \sqrt3\cdot\frac{4}{\sqrt3} = 3 + 4 = 7.

Resposta

7

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