Encontre os valores exatos de:
\cos \frac{7 \pi}{12}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \cos \frac{7\pi}{12}. O conteúdo envolvido é trigonometria, em particular a fórmula do cosseno da soma de ângulos, e precisaremos dos valores exatos de seno e cosseno de ângulos notáveis como \frac{\pi}{3} e \frac{\pi}{4}.

Passo 2

Note que
\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4},
e tanto \cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}, \cos\frac{\pi}{4} quanto \sin\frac{\pi}{4} são valores conhecidos.

Passo 3

Aplicamos a fórmula do cosseno da soma:
\cos\bigl(a+b\bigr) = \cos a\cos b - \sin a\sin b
com a = \frac{\pi}{3} e b = \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Substituindo:
\cos\frac{7\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{3}\,\cos\frac{\pi}{4} \;-\;\sin\frac{\pi}{3}\,\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \;-\;\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.

Resposta

\cos \frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.

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