Encontre os valores exatos de:
\tan -\frac{\pi}{12}

Passo 1

O enunciado pede o valor exato de \tan\bigl(-\tfrac{\pi}{12}\bigr). Vamos usar que a tangente é função ímpar e a fórmula do ângulo diferença para ângulos notáveis.

Passo 2

Como \tan é ímpar, temos
\tan\bigl(-\tfrac{\pi}{12}\bigr)=-\tan\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr).

Passo 3

Expressamos \tfrac{\pi}{12} como diferença de ângulos notáveis:
\tfrac{\pi}{12}=\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{6},
e aplicamos
\tan(A-B)=\frac{\tan A - \tan B}{1+\tan A\,\tan B}.
Substituindo \tan(\tfrac{\pi}{4})=1 e \tan(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{1}{\sqrt{3}}, obtemos
\tan\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr) =\frac{1-\tfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} =2-\sqrt{3}.

Passo 4

Substituindo no resultado do Passo 2,
\tan\bigl(-\tfrac{\pi}{12}\bigr)=-(2-\sqrt{3})=\sqrt{3}-2.

Resposta

\sqrt{3}-2

Exercícios relacionados