Verifique se a igualdade (\sin x+\cos x)^{2}=1+2 \sin x \cos x é verdadeira ou falsa.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a identidade trigonométrica
(\sin x + \cos x)^{2} = 1 + 2\,\sin x\cos x
é verdadeira ou falsa.
Conteúdo envolvido: álgebra de expressões e identidades trigonométricas básicas (em especial \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1).

Passo 2

Começamos expandindo o quadrado da soma usando a fórmula (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}. Aqui a = \sin x e b = \cos x. Logo,
(\sin x + \cos x)^{2} = \sin^{2}x \;+\; 2\,\sin x\cos x \;+\; \cos^{2}x.

Passo 3

No resultado da expansão, observamos os termos \sin^{2}x + \cos^{2}x. Pela identidade pitagórica,
\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1.
Substituindo na expressão expandida:
\sin^{2}x + 2\,\sin x\cos x + \cos^{2}x = 1 + 2\,\sin x\cos x.

Passo 4

Como a expansão de (\sin x + \cos x)^{2} resulta exatamente em 1 + 2\,\sin x\cos x, concluímos que a igualdade dada é válida para todo x.

Resposta

A identidade é verdadeira.

Exercícios relacionados