Simplifique a expressão \frac{1-\cos ^{2} x}{\tan ^{2} x} 2 \sin ^{2} x.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{1 - \cos^2 x}{\tan^2 x}\;2\sin^2 x.
O conteúdo envolve identidades trigonométricas: a identidade pitagórica, a definição de \tan x e a fórmula do ângulo duplo.

Passo 2

Aplicamos a identidade pitagórica 1 - \cos^2 x = \sin^2 x. Assim,
\frac{1 - \cos^2 x}{\tan^2 x}\;2\sin^2 x = \frac{\sin^2 x}{\tan^2 x}\;2\sin^2 x.

Passo 3

Usamos \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}, então dividir por \tan^2 x é multiplicar por \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}. Logo,
\frac{\sin^2 x}{\tan^2 x}\;2\sin^2 x = \sin^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\;2\sin^2 x = 2\sin^2 x\,\cos^2 x.

Passo 4

Reconhecemos que \sin(2x)=2\sin x\cos x. Ao elevar ao quadrado:
\sin^2(2x) = 4\,\sin^2 x\,\cos^2 x \quad\Longrightarrow\quad \sin^2 x\,\cos^2 x = \frac{\sin^2(2x)}{4}.
Substituindo em 2\sin^2 x\,\cos^2 x, obtemos
2\sin^2 x\,\cos^2 x = 2\;\frac{\sin^2(2x)}{4} = \frac{\sin^2(2x)}{2}.

Resposta

\frac{\sin^2(2x)}{2}.

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