Avalie a função nos números dados (com precisão de seis casas decimais). Use os resultados para estimar o valor do limite, ou explique por que ele não existe.
F(x)=\frac{(1 / \sqrt{x})-\frac{1}{5}}{x-25};
x=26,25,5,25,1,25,05,24,24,5,24,9,
24,95, 24,99;
\lim _{x \rightarrow 25} \frac{(1 / \sqrt{x})-\frac{1}{5}}{x-25}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a função
F(x)=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{5}}{x-25}
nos pontos x próximos de 25 (com precisão de seis casas decimais), e usar esses valores para estimar \displaystyle \lim_{x\to25}F(x). O conteúdo é cálculo de limite de uma forma indeterminada 0/0, que vamos resolver por racionalização e, depois, computar numericamente.

Passo 2

Para eliminar a indeterminação escrevemos
F(x)=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{5}}{x-25} =\frac{\frac{5-\sqrt{x}}{5\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)} =-\frac{\sqrt{x}-5}{5\sqrt{x}\,(\sqrt{x}-5)\,(\sqrt{x}+5)} =-\frac{1}{5\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+5)}.

Passo 3

Portanto, para todo x\neq25 temos
F(x)=-\frac{1}{5\sqrt{x}\,\bigl(\sqrt{x}+5\bigr)},
e podemos usar essa forma simplificada para calcular os valores aproximados.

Passo 4

Calculando \sqrt{x} e depois \;F(x)=-1/[5\sqrt{x}(\sqrt{x}+5)], obtemos (com seis casas decimais):
  • Para x=26,25: \sqrt{26,25}\approx5,123475 e
    F(26,25)\approx-0,003856.
  • Para x=25,5: \sqrt{25,5}\approx5,049752 e
    F(25,5)\approx-0,003943.
  • Para x=25,05: \sqrt{25,05}\approx5,004998 e
    F(25,05)\approx-0,003994.
  • Para x=24,5: \sqrt{24,5}\approx4,949747 e
    F(24,5)\approx-0,004061.
  • Para x=24,9: \sqrt{24,9}\approx4,989995 e
    F(24,9)\approx-0,004012.
  • Para x=24,95: \sqrt{24,95}\approx4,994998 e
    F(24,95)\approx-0,004006.
  • Para x=24,99: \sqrt{24,99}\approx4,999000 e
    F(24,99)\approx-0,004001.

Passo 5

Os valores de F(x) aproximam-se de -0,004 quando x se aproxima de 25. Além disso, fazendo x=25 na forma simplificada, temos
\lim_{x\to25}F(x) =-\frac{1}{5\cdot5\,(5+5)} =-\frac{1}{250} =-0,004.

Resposta

Os valores de F(x) e o limite são: F(26,25)\approx-0,003856 F(25,5)\approx-0,003943 F(25,05)\approx-0,003994 F(24,5)\approx-0,004061 F(24,9)\approx-0,004012 F(24,95)\approx-0,004006 F(24,99)\approx-0,004001 \displaystyle \lim_{x\to25}F(x)=-0,004.

Exercícios relacionados