Avalie a função nos números dados (com precisão de seis casas decimais). Use os resultados para estimar o valor do limite, ou explique por que ele não existe.
f(x)=\frac{1-\cos x}{x^{2}};
x=1,0,5,0,4,0,3,0,2,0,1,0,05,0,01 ;
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a função
f(x)=\frac{1-\cos x}{x^{2}}
nos pontos x=1,\;0,5,\;0,4,\;0,3,\;0,2,\;0,1,\;0,05,\;0,01 com precisão de seis casas decimais, e usar esses valores para estimar
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}.

Passo 2

Calculamos cada valor aproximando \cos x e arredondando o resultado de f(x) a seis casas decimais:
  • Para x=1: \cos(1)\approx0,540302, logo f(1)=\tfrac{1-\cos(1)}{1^2}\approx0,459698.
  • Para x=0,5: \cos(0,5)\approx0,877583, logo f(0,5)=\tfrac{1-\cos(0,5)}{0,5^2}\approx0,489670.
  • Para x=0,4: \cos(0,4)\approx0,921061, logo f(0,4)=\tfrac{1-\cos(0,4)}{0,4^2}\approx0,493369.
  • Para x=0,3: \cos(0,3)\approx0,955336, logo f(0,3)=\tfrac{1-\cos(0,3)}{0,3^2}\approx0,496261.
  • Para x=0,2: \cos(0,2)\approx0,980067, logo f(0,2)=\tfrac{1-\cos(0,2)}{0,2^2}\approx0,498336.
  • Para x=0,1: \cos(0,1)\approx0,995004, logo f(0,1)=\tfrac{1-\cos(0,1)}{0,1^2}\approx0,499583.
  • Para x=0,05: \cos(0,05)\approx0,998750, logo f(0,05)=\tfrac{1-\cos(0,05)}{0,05^2}\approx0,499896.
  • Para x=0,01: \cos(0,01)\approx0,999950, logo f(0,01)=\tfrac{1-\cos(0,01)}{0,01^2}\approx0,499996.

Passo 3

Observando os resultados
0,459698,\;0,489670,\;0,493369,\;0,496261,\;0,498336,\;0,499583,\;0,499896,\;0,499996,
vemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 0,5 conforme x\to0. Isso indica que o limite existe e vale aproximadamente 0,5.

Resposta

\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=0,5.

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