Avalie a função nos números dados (com precisão de seis casas decimais). Use os resultados para estimar o valor do limite, ou explique por que ele não existe.
F(t)=\frac{\sqrt[3]{t}-1}{\sqrt{t}-1};
t=1,5,1,2,1,1,1,01,1,001 ;
\lim _{t \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{t}-1}{\sqrt{t}-1}

Passo 1

O enunciado pede para estimar o limite \lim_{t\to1}\frac{\sqrt[3]{t}-1}{\sqrt{t}-1} avaliando a função
F(t)=\frac{\sqrt[3]{t}-1}{\sqrt{t}-1}
em pontos cada vez mais próximos de t=1. Notamos que a substituição direta em t=1 gera a forma indeterminada \frac{0}{0}.

Passo 2

Vamos calcular F(t) com precisão de seis casas decimais para t=1,5, 1,2, 1,1, 1,01 e 1,001:
F(1,5)\approx0,644445,\quad F(1,2)\approx0,658905,\quad F(1,1)\approx0,661039,\quad F(1,01)\approx0,666036,\quad F(1,001)\approx0,666600.
Observamos que, à medida que t se aproxima de 1, F(t) converge para aproximadamente 0,666667.

Passo 3

Para confirmar sem depender apenas da aproximação numérica, aplicamos o Teorema de L’Hôpital: se \lim_{t\to1}f(t)=0 e \lim_{t\to1}g(t)=0, então
\lim_{t\to1}\frac{f(t)}{g(t)} =\lim_{t\to1}\frac{f'(t)}{g'(t)},
desde que este último limite exista.

Passo 4

Aqui f(t)=t^{1/3}-1 e g(t)=t^{1/2}-1. Calculando as derivadas temos
f'(t)=\frac{1}{3}t^{-2/3}, \quad g'(t)=\frac{1}{2}t^{-1/2}.
Logo,
\lim_{t\to1}F(t) =\lim_{t\to1}\frac{\tfrac{1}{3}t^{-2/3}}{\tfrac{1}{2}t^{-1/2}} =\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}} =\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to1}\frac{\sqrt[3]{t}-1}{\sqrt{t}-1}=\frac{2}{3}.

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