Calcule a área da região delimitada por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}^{2}-5 \mathrm{x}+6 para \mathrm{x} \in[-2,3]. E calcule \int_{-2}^{3} f(x) d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a área da região entre a curva \mathrm{f}(x)=x^3-2x^2-5x+6 e o eixo x no intervalo [-2,3] e o valor da integral definida \displaystyle\int_{-2}^{3} \mathrm{f}(x)\,dx. Para isso vamos: 1) encontrar as raízes de \mathrm{f}(x), 2) determinar o sinal de \mathrm{f}(x) em cada subintervalo, 3) achar a primitiva de \mathrm{f}(x) e avaliar as integrais necessárias.

Passo 2

Fatoramos
x^3-2x^2-5x+6 = (x-1)(x^2 -x -6) = (x-1)(x-3)(x+2),
logo as raízes são x=-2, x=1 e x=3, todas dentro de [-2,3].

Passo 3

Para determinar o sinal de \mathrm{f}(x) basta testar um ponto em cada intervalo:
  • Em (-2,1), por exemplo em x=0, temos \mathrm{f}(0)=6>0.
  • Em (1,3), por exemplo em x=2, temos \mathrm{f}(2)=8-8-10+6=-4<0.
    Assim
\text{área} = \int_{-2}^{1}\mathrm{f}(x)\,dx \;-\;\int_{1}^{3}\mathrm{f}(x)\,dx,á
enquanto a integral com sinal é
\int_{-2}^{3}\mathrm{f}(x)\,dx = \int_{-2}^{1}\mathrm{f}(x)\,dx + \int_{1}^{3}\mathrm{f}(x)\,dx.

Passo 4

Uma primitiva de \mathrm{f}(x) é
F(x) = \frac{x^4}{4} \;-\; \frac{2x^3}{3} \;-\; \frac{5x^2}{2} \;+\; 6x.
Calculamos então
\int_{-2}^{1}\mathrm{f}(x)\,dx = F(1)-F(-2) = \frac{37}{12} - \bigl(-\tfrac{38}{3}\bigr) = \frac{189}{12} = \frac{63}{4},
\int_{1}^{3}\mathrm{f}(x)\,dx = F(3)-F(1) = -\frac{9}{4} - \frac{37}{12} = -\frac{16}{3}.

Passo 5

Com esses resultados temos
\int_{-2}^{3}\mathrm{f}(x)\,dx = \frac{63}{4} + \Bigl(-\frac{16}{3}\Bigr) = \frac{189-64}{12} = \frac{125}{12},
e a área total é
\frac{63}{4} \;-\; \Bigl(-\frac{16}{3}\Bigr) = \frac{189+64}{12} = \frac{253}{12}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{253}{12} e \displaystyle \int_{-2}^{3} \mathrm{f}(x)\,dx = \frac{125}{12}.

Exercícios relacionados