Considere a superfície
obtida pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico de uma função
, com derivada contínua e
. A área da superfície
é dada por
Sejam
e
as áreas das superfície geradas pela rotação, em torno do eixo
, dos gráfico das seguintes funções
e
, respectivamente. Verifique que
Passo 1
O enunciado trata de encontrar as áreas de duas superfícies de revolução em torno do eixo
, usando a fórmula
Precisamos calcular
e mostrar que sua soma se reduz a um único integral da forma
.
Passo 2
Cálculo de
com a substituição
Em
temos
, e em
temos
. Logo
Passo 3
Cálculo de
com a substituição
Em
temos
, e em
temos
. Assim
Passo 4
Somando
e
:
Dividindo ambos os lados por
(caso queiramos apenas o integral sem o fator
), obtemos