Considere a superfície S obtida pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de uma função f, com derivada contínua e f(x) \geq 0 \mathrm{em}[a, b]. A área da superfície S é dada por
2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x .
Sejam A_{1} e A_{2} as áreas das superfície geradas pela rotação, em torno do eixo x, dos gráfico das seguintes funções f(x)=\operatorname{sen} x, 0 \leq x \leq \pi e f(x)=e^{x}, 0 \leq x \leq \ln (2), respectivamente. Verifique que
A_{1}+A_{2}=\int_{-1}^{2} \sqrt{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado trata de encontrar as áreas de duas superfícies de revolução em torno do eixo x, usando a fórmula
A \;=\;2\pi\int_{a}^{b}f(x)\,\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\;dx.
Precisamos calcular
A_{1}=2\pi\int_{0}^{\pi}\sin x\;\sqrt{1+\cos^{2}x}\;dx \quad\text{e}\quad A_{2}=2\pi\int_{0}^{\ln2}e^{x}\;\sqrt{1+e^{2x}}\;dx,
e mostrar que sua soma se reduz a um único integral da forma \displaystyle\int_{-1}^{2}\sqrt{1+u^{2}}\,du.

Passo 2

Cálculo de A_{1} com a substituição
u=\cos x,\qquad du=-\sin x\,dx.
Em x=0 temos u=\cos0=1, e em x=\pi temos u=\cos\pi=-1. Logo
A_{1} =2\pi\int_{0}^{\pi}\sin x\;\sqrt{1+\cos^{2}x}\;dx =2\pi\int_{u=1}^{-1}\sqrt{1+u^{2}}\;(-du) =2\pi\int_{-1}^{1}\sqrt{1+u^{2}}\;du.

Passo 3

Cálculo de A_{2} com a substituição
u=e^{x},\qquad du=e^{x}\,dx.
Em x=0 temos u=1, e em x=\ln2 temos u=2. Assim
A_{2} =2\pi\int_{0}^{\ln2}e^{x}\;\sqrt{1+e^{2x}}\;dx =2\pi\int_{u=1}^{2}\sqrt{1+u^{2}}\;du.

Passo 4

Somando A_{1} e A_{2}:
A_{1}+A_{2} =2\pi\Bigl(\int_{-1}^{1}\sqrt{1+u^{2}}\,du+\int_{1}^{2}\sqrt{1+u^{2}}\,du\Bigr) =2\pi\int_{-1}^{2}\sqrt{1+u^{2}}\,du.
Dividindo ambos os lados por 2\pi (caso queiramos apenas o integral sem o fator 2\pi), obtemos
\int_{0}^{\pi}\sin x\sqrt{1+\cos^{2}x}\,dx +\int_{0}^{\ln2}e^{x}\sqrt{1+e^{2x}}\,dx =\int_{-1}^{2}\sqrt{1+u^{2}}\,du.

Resposta

A_{1}+A_{2} =\int_{-1}^{2}\sqrt{1+x^{2}}\;dx.

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