Sejam
e
. Mostre que a existência de
implica que para todo
,
, podemos obter
, de maneira que se
, com
e
, então
.
Passo 1
Estamos com uma função
e um ponto de acumulação
. O que queremos mostrar é que, se
existe (digamos igual a
), então
fica “quase constante” quando
e
se aproximam de
: para todo
existe
tal que, sempre que
e
, vale
. Vamos usar a definição de limite e a desigualdade triangular.
Passo 2
Como
existe, pela definição de limite sabemos que:
Passo 3
Dado um
qualquer, escolhemos
. Pela existência do limite existe, então, um
tal que
Passo 4
Agora tomemos
com
e
. Aplicando a desigualdade triangular a
temos
Passo 5
Concluímos que, para todo
, existe
que garante
sempre que
e
. Isso é exatamente o que queríamos provar.
Resposta
Mostramos que a existência de
implica a propriedade