Sejam f: X \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e x_{0} \in X^{\prime}. Mostre que a existência de \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) implica que para todo \varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon>0, podemos obter \delta \in \mathbb{R}, \delta>0, de maneira que se x, y \in X, com 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta e 0<\left|y-x_{0}\right|<\delta, então |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

Passo 1

Estamos com uma função f\colon X\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} e um ponto de acumulação x_{0}\in X'. O que queremos mostrar é que, se \lim_{x\to x_{0}}f(x) existe (digamos igual a L), então f(x) fica “quase constante” quando x e y se aproximam de x_{0}: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta e 0<|y-x_{0}|<\delta, vale |f(x)-f(y)|<\varepsilon. Vamos usar a definição de limite e a desigualdade triangular.

Passo 2

Como \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L existe, pela definição de limite sabemos que:
\forall \varepsilon'>0\\ \exists \delta>0\quad\text{tal que se }0<|x - x_{0}|<\delta\text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon'.ã

Passo 3

Dado um \varepsilon>0 qualquer, escolhemos \varepsilon'=\tfrac{\varepsilon}{2}. Pela existência do limite existe, então, um \delta>0 tal que
0<|x - x_{0}|<\delta\quad\Longrightarrow\quad|f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}.

Passo 4

Agora tomemos x,y\in X com 0<|x-x_{0}|<\delta e 0<|y-x_{0}|<\delta. Aplicando a desigualdade triangular a
|f(x)-f(y)| = |\,f(x)-L + L - f(y)\,|
temos
|f(x)-f(y)| \le |f(x)-L| + |f(y)-L| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

Passo 5

Concluímos que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 que garante |f(x)-f(y)|<\varepsilon sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta e 0<|y-x_{0}|<\delta. Isso é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

Mostramos que a existência de \lim_{x\to x_{0}}f(x) implica a propriedade
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que }0<|x-x_{0}|<\delta,\\\ 0<|y-x_{0}|<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

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