Dadas as seguinte integrais, esboce a região de integração e calcule-as.
integral0^3 integral0^raiz9-y^2 y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região e calcular a integral dupla
integral0^3integral0^raiz9-y^2y,dx,dy
Isso é conteúdo de Cálculo Multivariável: integrais duplas sobre uma região do plano. Para resolver vamos precisar
  1. entender e desenhar a região dada pelos limites,
  2. fazer a integração em duas etapas (primeiro em x, depois em y),
  3. usar uma substituição para calcular a integral em y.

Passo 2

Esboço da região e interpretação:
  • O limite interno diz 0<= x<=raiz9-y^2.
  • O limite externo diz 0<= y<=3.
    A curva x=raiz9-y^2 é a metade direita do círculo x^2+y^2=9. Como y vai de 0 a 3 e x>=0, a região é justamente um quarto de círculo de raio 3 no primeiro quadrante.

Passo 3

Agora calculamos a integral passo a passo.
  1. Integramos em x mantendo y fixo:
integral0^raiz9-y^2y,dx = yintegral0^raiz9-y^2dx = yl[xr]0^raiz9-y^2 = y,raiz9-y^2
  1. Então a integral fica
integral0^3y,raiz9-y^2;dy

Passo 4

Para
integral0^3y,raiz9-y^2;dy
fazemos a substituição
u=9-y^2, du=-2y,dyLongrightarrow y,dy=-du2
Quando y=0, u=9; quando y=3, u=0. Logo
integral0^3yraiz9-y^2,dy =integral9^0raizu,l(-tfracdu2r) =tfrac12integral0^9u^1/2,du =tfrac12l[tfrac23u^3/2r]0^9 =tfrac13(9)^3/2 =tfrac13cdot27 =9

Resposta

O valor da integral é 9.

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