Dadas as seguinte integrais, esboce a região de integração e calcule-as.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região e calcular a integral dupla
Isso é conteúdo de Cálculo Multivariável: integrais duplas sobre uma região do plano. Para resolver vamos precisar
- entender e desenhar a região dada pelos limites,
- fazer a integração em duas etapas (primeiro em
, depois em ), - usar uma substituição para calcular a integral em
.
Passo 2
Esboço da região e interpretação:
- O limite interno diz
. - O limite externo diz
.
A curvaé a metade direita do círculo . Como vai de a e , a região é justamente um quarto de círculo de raio no primeiro quadrante.
Passo 3
Agora calculamos a integral passo a passo.
- Integramos em
mantendo fixo:
- Então a integral fica
Passo 4
Para
fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Logo
Resposta
O valor da integral é
.