Avalie as integrais:
integral tan ^3 x sec ^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral tan^3x ,sec^3x ,dx
O conteúdo aqui é a integração de potências de tan x e sec x. Vamos usar a identidade tan^2x = sec^2x -1 e a substituição u = sec x, pois du = sec x tan x,dx.

Passo 2

Primeiro, separamos tan^3x = tan x,tan^2x e aplicamos tan^2x = sec^2x -1:
tan^3x ,sec^3x = tan x,(sec^2x -1),sec^3x = (sec^2x -1),tan x,sec^3x

Passo 3

Agora extraímos o fator sec xtan x,dx que é exatamente du. Note que
tan x,sec^3x,dx = sec^2xl(sec xtan x,dxr) = sec^2x,du
Logo a integral vira
integral (sec^2x -1),tan x,sec^3x,dx = integral (sec^2x -1),sec^2x,du

Passo 4

Fazendo u = sec x implica sec^2x = u^2. Substituindo, a integral em u é
integral (u^2-1),u^2,du = integral (u^4-u^2),du = u^55 - u^33 + C

Passo 5

Voltando a x via u=sec x, obtemos
sec^5x5 - sec^3x3 + C

Resposta

sec^5x5 - sec^3x3 + C

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