Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x 2(6 x^2-13 x+5)=3

Passo 1

A questão pede para mostrar que limxto2(6x^2-13x+5)=3 usando a definição varepsilon- de<a. Vamos controlar a diferença |f(x)-3| e achar um de<a que dependa de varepsilon.

Passo 2

Precisamos escrever f(x)-3 como produto de |x-2| por outro termo. Calculando:

Passo 3

6x^2-13x+5-3=6x^2-13x+2=(x-2)(6x-1)

Passo 4

Logo,

Passo 5

|f(x)-3|=|x-2|,|6x-1|

Passo 6

Para controlar |6x-1|, escolhemos preliminarmente de<a<=1. Assim, se |x-2|<1 então 1<x<3 e

Passo 7

|6x-1|<max6cdot1-1,6cdot3-1=17

Passo 8

Dessa forma, quando |x-2|<de<a<=1 temos

Passo 9

|f(x)-3|=|x-2|,|6x-1|<17|x-2|

Passo 10

Para garantir |f(x)-3|<varepsilon, basta exigir

Passo 11

17|x-2|<varepsilon

Passo 12

ou seja escolher

Passo 13

de<a=minl1,varepsilon17r

Passo 14

Com essa escolha, sempre que 0<|x-2|<de<a segue-se |f(x)-3|<varepsilon, completando a prova.

Resposta

Para cada varepsilon>0, tomando-se de<a=min1,varepsilon/17, garante-se que 0<|x-2|<de<a implica |6x^2-13x+5-3|<varepsilon. Portanto limxto2(6x^2-13x+5)=3.

Exercícios relacionados