Avalie as integrais usando frações parciais:
\mathbf{a} \int \frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{x\bigl(x^{2}+4\bigr)^{2}}\,dx
usando decomposição em frações parciais. Vamos precisar lembrar como repartir uma função racional em termos simples e depois integrar cada parte.

Passo 2

Assumimos a forma
\frac{1}{x\bigl(x^{2}+4\bigr)^{2}} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}+\frac{Dx+E}{\bigl(x^{2}+4\bigr)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+4)^{2} obtemos a identidade polinomial
1 = A\,(x^{2}+4)^{2} + (Bx+C)\,x\,(x^{2}+4) + (Dx+E)\,x.
Agora basta expandir e comparar coeficientes.

Passo 3

Expandindo e recolhendo termos em x^{4},x^{3},x^{2},x,1\), obtemos o sistema \[\begin{cases} x^{4}:\;A+B = 0,\\\ x^{3}:\;C = 0,\\\ x^{2}:\;8A+4B+D = 0,\\\ x^{1}:\;4C+E = 0,\\\ x^{0}:\;16A = 1. \end{cases}
Da última equação vem A=\tfrac1{16}\]. Logo \(B=-A=-\tfrac1{16}. Como C=0, da equação de x segue E=0. E de 8A+4B+D=0 vem
D = -\bigl(8A+4B\bigr) = -\Bigl(\tfrac8{16} - \tfrac4{16}\Bigr) =-\tfrac14.

Passo 4

Substituindo em cada fração, escrevemos a integral como soma de termos mais simples:
\int \frac{1}{x(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\int\Bigl(\frac{1}{16\,x} -\frac{1}{16}\,\frac{x}{x^{2}+4} -\frac{1}{4}\,\frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\Bigr)\,dx.
Agora basta integrar cada parte.

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert, \quad \int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx = \frac12\ln\bigl(x^{2}+4\bigr),
\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx = \frac12\int u^{-2}du\quad\text{com }u=x^{2}+4 \;=\;-\frac{1}{2(x^{2}+4)}.
Levantando os fatores, obtemos
I = \frac{1}{16}\ln\lvert x\rvert -\frac{1}{16}\cdot\frac12\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) -\frac{1}{4}\Bigl(-\frac{1}{2(x^{2}+4)}\Bigr)+C.

Passo 6

Simplificando:
I = \frac{1}{16}\ln\lvert x\rvert -\frac{1}{32}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) +\frac{1}{8(x^{2}+4)}+C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{1}{x(x^{2}+4)^{2}}\,dx = \frac{1}{16}\ln\lvert x\rvert -\frac{1}{32}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) +\frac{1}{8(x^{2}+4)}+C. }

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