1^{\text {a }} Questão (30 pontos): Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\pi-\sqrt{2} t+e^{-2 t} \cos t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=\pi-\sqrt{2}\,t+e^{-2t}\cos t.
Para resolver, usaremos a linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas conhecidas:
  1. \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac1s.
  2. \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac1{s^2}.
  3. \mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}(s)=\frac{s - a}{(s - a)^2 + b^2}, ou, se vier como e^{-2t}\cos t, então a=-2 e b=1.

Passo 2

Calcular \mathcal{L}\{\pi\}(s).
Pela linearidade,
\mathcal{L}\{\pi\}(s)=\pi\;\mathcal{L}\{1\}(s)=\pi\;\frac1s=\frac{\pi}{s}.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{-\sqrt{2}\,t\}(s).
Novamente por linearidade,
\mathcal{L}\{-\sqrt{2}\,t\}(s)=-\sqrt{2}\;\mathcal{L}\{t\}(s)=-\sqrt{2}\;\frac1{s^2}=-\frac{\sqrt{2}}{s^2}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{e^{-2t}\cos t\}(s).
Usando a fórmula
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2},
com a=-2 e b=1, obtemos
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos t\}(s) =\frac{s-(-2)}{(s-(-2))^2+1^2} =\frac{s+2}{(s+2)^2+1}.

Passo 5

Somando todas as parcelas (pela linearidade), a transformada de f(t) é
F(s) =\frac{\pi}{s} -\frac{\sqrt{2}}{s^2} +\frac{s+2}{(s+2)^2+1}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac{\pi}{s} -\frac{\sqrt{2}}{s^2} +\frac{s+2}{(s+2)^2+1}.

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