1^{\text {a }}\) Questão (30 pontos): Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções: \(f(t)= \begin{cases}0, & t<1 \\\ t-1, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

Resumindo o enunciado, a função f(t) vale zero para t<1 e vale t-1 para t\ge1. O conteúdo aqui é a transformada de Laplace, definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt,
e vamos usar mudança de variável para calcular a integral imprópria.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt =\int_{0}^{1}0\cdot e^{-st}\,dt+\int_{1}^{\infty}(t-1)e^{-st}\,dt.

Passo 3

A primeira integral é zero. Na segunda, façamos a mudança de variável u = t-1, logo t = u+1 e dt = du. Quando t=1, u=0; quando t\to\infty, u\to\infty. Então
\int_{1}^{\infty}(t-1)e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}u\,e^{-s(u+1)}\,du =e^{-s}\int_{0}^{\infty}u\,e^{-su}\,du.

Passo 4

Reconhecemos a integral padrão
\int_{0}^{\infty}u\,e^{-su}\,du=\frac{1}{s^{2}},
válida para \Re(s)>0. Portanto
\mathcal{L}\{f\}(s) =e^{-s}\cdot\frac{1}{s^{2}}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-s}}{s^{2}}\,.}

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