Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
integral e^theta sin theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^theta sintheta,dtheta usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar da fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du e escolher de forma inteligente u e dv.

Passo 2

Definimos I = integral e^theta sintheta,dtheta. Para aplicar partes, escolhemos:
u = sintheta Rightarrow du = costheta,dtheta
dv = e^theta,dtheta Rightarrow v = e^theta
Então, aplicando integral u,dv = uv - integral v,du, obtemos:
I = e^thetasintheta - integral e^thetacostheta,dtheta

Passo 3

Agora precisamos calcular integral e^thetacostheta,dtheta. Definimos:
J = integral e^thetacostheta,dtheta. Novamente por partes, escolhemos:
u = costheta Rightarrow du = -sintheta,dtheta
dv = e^theta,dtheta Rightarrow v = e^theta
Logo,
J = e^thetacostheta - integral e^theta(-sintheta),dtheta = e^thetacostheta + integral e^thetasintheta,dtheta
Mas integral e^thetasintheta,dtheta é exatamente I. Portanto:
J = e^thetacostheta + I

Passo 4

Voltando à expressão de I:
I = e^thetasintheta - integral e^thetacostheta,dtheta = e^thetasintheta - J
Substituindo J = e^thetacostheta + I, temos:
I = e^thetasintheta - l(e^thetacostheta + Ir)

Passo 5

Agora resolvemos para I. Reorganizando:
I = e^thetasintheta - e^thetacostheta - I
Somando I dos dois lados:
2I = e^theta(sintheta - costheta)
Logo, dividindo por 2, ficamos com:
I = e^theta2(sintheta - costheta) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral e^theta sintheta,dtheta = e^theta2(sintheta - costheta) + C

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