Avalie a integral.

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular a integral integral x^2-5x+1(x^2+1)^2,dx. Esse tipo de integral é de função racional com denominador quadrado de um irreducível x^2+1. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais apropriada para o caso de quadrático repetido e depois uma substituição para integrar a parte resultante.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais. Suponha que
x^2-5x+1(x^2+1)^2=Ax+Bx^2+1+Cx+D(x^2+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x^2+1)^2
x^2-5x+1=(Ax+B)(x^2+1)+(Cx+D)
Expandindo e agrupando termos em potências de x, igualamos coeficientes e obtemos
A=0,;B=1,;C=-5,;D=0
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x^2-5x+1(x^2+1)^2=1x^2+1-5x(x^2+1)^2

Passo 3

Agora separamos a integral em duas partes:
integral x^2-5x+1(x^2+1)^2,dx=integral 1x^2+1,dx-5integral x(x^2+1)^2,dx
A primeira é clássica:
integral 1x^2+1,dx=arctan x
Para a segunda, usamos a substituição u=x^2+1, então du=2x,dx. Assim:
integral x(x^2+1)^2,dx=12integral u^-2,du=-12u+C=-12(x^2+1)+C

Passo 4

Juntando tudo, temos
integral x^2-5x+1(x^2+1)^2,dx=arctan x-5l(-12(x^2+1)r)+C=arctan x+52(x^2+1)+C

Resposta

arctan x+52(x^2+1)+C

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