Avalie a integral.
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular a integral
. Esse tipo de integral é de função racional com denominador quadrado de um irreducível
. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais apropriada para o caso de quadrático repetido e depois uma substituição para integrar a parte resultante.
Passo 2
Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais. Suponha que
Multiplicando ambos os lados por
dá
Expandindo e agrupando termos em potências de
, igualamos coeficientes e obtemos
Logo
Logo
Passo 3
Agora separamos a integral em duas partes:
A primeira é clássica:
Para a segunda, usamos a substituição
, então
. Assim:
Passo 4
Juntando tudo, temos