Mostre que se f é holomorfa em z0, então Dica: Use as equações de Cauchy-Riemann.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma função f=u+iv é holomorfa em z0, então lvert f'(z0)rvert^2 = ux^2+vx^2 = uy^2+vy^2. O conteúdo é análise complexa: usamos as equações de Cauchy–Riemann e a definição de derivada de f.

Passo 2

Como f é holomorfa em z0, existem derivadas parciais contínuas satisfazendo as equações de Cauchy–Riemann em z0:
ux = vy, uy = -vx
Além disso, a derivada complexa em z0 pode ser expressa como
f'(z0) = ux(z0) + i vx(z0)

Passo 3

Para calcular o módulo ao quadrado de f'(z0), fazemos
lvert f'(z0)rvert^2 = l(ux(z0)r)^2 + l(vx(z0)r)^2

Passo 4

Usando as equações de Cauchy–Riemann, temos vx = -uy e ux = vy. Substituindo em ux^2+vx^2
ux^2 + vx^2 = (vy)^2 + (-uy)^2 = vy^2 + uy^2

Passo 5

Concluímos que
lvert f'(z0)rvert^2 = ux^2 + vx^2 = uy^2 + vy^2,
ocorrendo exatamente o que se pedia.

Resposta

lvert f'(z0)rvert^2 = ux^2 + vx^2 = uy^2 + vy^2.

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