Mostre que se
é holomorfa em
, então
Dica: Use as equações de Cauchy-Riemann.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma função
é holomorfa em
, então
. O conteúdo é análise complexa: usamos as equações de Cauchy–Riemann e a definição de derivada de
.
Passo 2
Como
é holomorfa em
, existem derivadas parciais contínuas satisfazendo as equações de Cauchy–Riemann em
:
Além disso, a derivada complexa em
pode ser expressa como
Passo 3
Para calcular o módulo ao quadrado de
, fazemos
Passo 4
Usando as equações de Cauchy–Riemann, temos
e
. Substituindo em
dá
Passo 5
Concluímos que
ocorrendo exatamente o que se pedia.