Encontre a massa do sólido limitado pelos plano- x y, plano- y z, plano- x z e o plano x3+y2+z6=1 onde a densidade é de.

Passo 1

A gente quer achar a massa de um tetraedro no primeiro octante, limitado pelos planos xy (z=0), yz (x=0), xz (y=0) e pela face dada por x3+y2+z6=1. O conteúdo envolvido é integral tripla de densidade de, então precisamos montar e calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro montamos os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, x>=0, y>=0, z>=0. Da equação da face temos z=6-2x-3y e da projeção no plano xy y<=2-tfrac2x3, 0<= x<=3. Logo,
M=integral triplaV(x+y),dV=integralx=0^3integraly=0^2-2x/3integralz=0^6-2x-3y(x+y),dz,dy,dx

Passo 3

Integrando primeiro em z, como x+y não depende de z, temos
integral0^6-2x-3y(x+y),dz=(x+y)l(6-2x-3yr)

Passo 4

Agora ficamos com
M=integral0^3integral0^2-2x/3(x+y)(6-2x-3y),dy,dx

Passo 5

Expande-se o integrando e integra-se em y, obtendo-se uma função polinomial de x. Por fim, integra-se em x de 0 a 3, resultando em
M=152

Resposta

15/2

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