Verifique se as funções abaixo são holomorfas e, em caso positivo, indique a região onde isso é válido.
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;
-
;
-
.
Passo 1
Vamos verificar se as funções listadas são holomorfas aplicando as equações de Cauchy–Riemann (CR). Em geral, escrevemos cada função como
com
e checamos se
em alguma região aberta do plano.
Passo 2
Para
, escrevemos
Calculando as derivadas parciais:
Vemos que
e
valem para todo
. Logo,
é holomorfa em todo
.
Passo 3
Para
, temos
As derivadas são
A condição
dá
ou
, e
dá sempre
. Contudo, a reta
não é um conjunto aberto, então não existe região aberta onde ambas as CR valham. Logo,
não é holomorfa em nenhum aberto.
Passo 4
Para
, reconhecemos
$$h(z)=\frac1z\quad(z\neq0).
$$
Sabemos que é holomorfa em
. Portanto,
é holomorfa em
.
Sabemos que
Passo 5
Para
, então
Derivadas:
Aqui
, pois
. Logo, não satisfaz CR em nenhum ponto, e
não é holomorfa.
Passo 6
Assumindo que
$$\ell(z)=4x2+5x-4y2+9 + i\bigl(8xy+5y-1\bigr),
\quad v(x,y)=8xy+5y-1.
;u_y=-8y,
;v_x=8y,
;v_y=8x+5.
;v_x=8y,
;v_y=8x+5.
$$
Verificamos e
para todo
. Portanto,
é holomorfa em todo
.
Verificamos
Resposta
As funções holomorfas são:
f(z)=z^2+z e ℓ(z) em toda ,
h(z)=1/z em .
As funções g(z) e j(z) não são holomorfas em nenhuma região aberta.
f(z)=z^2+z e ℓ(z) em toda
h(z)=1/z em
As funções g(z) e j(z) não são holomorfas em nenhuma região aberta.