Verifique se as funções abaixo são holomorfas e, em caso positivo, indique a região onde isso é válido.
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Passo 1

Vamos verificar se as funções listadas são holomorfas aplicando as equações de Cauchy–Riemann (CR). Em geral, escrevemos cada função como f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) com z=x+iy e checamos se
ux=vye uy=-vx
em alguma região aberta do plano.

Passo 2

Para f(z)=z^2+z, escrevemos
u(x,y)=x^2 - y^2 + x, v(x,y)=2xy + y
Calculando as derivadas parciais:
ux=2x+1, ;uy=-2y, ;vx=2y, ;vy=2x+1
Vemos que ux=vy e uy=-vx valem para todo (x,y). Logo, f é holomorfa em todo C.

Passo 3

Para g(z)=2x^2+y + i(y^2 - x), temos
u(x,y)=2x^2+y, v(x,y)=y^2 - x
As derivadas são
ux=4x, ;uy=1, ;vx=-1, ;vy=2y
A condição ux=vy 4x=2y ou y=2x, e uy=-vx dá sempre 1=1. Contudo, a reta y=2x não é um conjunto aberto, então não existe região aberta onde ambas as CR valham. Logo, g não é holomorfa em nenhum aberto.

Passo 4

Para h(z)=xx^2+y^2-iyx^2+y^2, reconhecemos
$$h(z)=\frac1z\quad(z\neq0).
$$
Sabemos que h(z)=1z(zneq0) é holomorfa em 1/z. Portanto, Csetminus0 é holomorfa em h.

Passo 5

Para j(z)=Re(z)=x, então
u(x,y)=x, v(x,y)=0
Derivadas:
ux=1, ;uy=0, ;vx=0, ;vy=0
Aqui uxneq vy, pois 1neq0. Logo, não satisfaz CR em nenhum ponto, e j não é holomorfa.

Passo 6

Assumindo que
$$\ell(z)=4x2+5x-4y2+9 + i\bigl(8xy+5y-1\bigr),
ell(z)=4x^2+5x-4y^2+9 + il(8xy+5y-1r), u(x,y)=4x2+5x-4y2+9,
\quad v(x,y)=8xy+5y-1.
u(x,y)=4x^2+5x-4y^2+9, v(x,y)=8xy+5y-1 ãu_x=8x+5,
;u_y=-8y,
;v_x=8y,
;v_y=8x+5.
$$
Verificamos ux=8x+5, ;uy=-8y, ;vx=8y, ;vy=8x+5 e ux=vy para todo uy=-vx. Portanto, (x,y) é holomorfa em todo ell.

Resposta

As funções holomorfas são:
f(z)=z^2+z e ℓ(z) em toda C,
h(z)=1/z em Csetminus0.
As funções g(z) e j(z) não são holomorfas em nenhuma região aberta.

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