Mostre que se f é holomorfa em Omega, e se f^prime(z)=0 para todo z in Omega, então f(z) é constante em Omega. Dica: Use a definição de derivada complexa e as equações de Cauchy-Riemann.

Passo 1

A questão quer mostrar que se uma função é holomorfa em $\x03Omega$ e sua derivada complexa $\x03f’(z)$ é zero em todo $\x03Omega$, então ela é constante. O conteúdo principal aqui é análise complexa, usando a definição de derivada complexa e as equações de Cauchy–Riemann, e precisamos lembrar que holomorfia implica que as componentes reais e imaginárias satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Como $\x03f$ é holomorfa, podemos escrevê-la como $\x03f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)$, com $\x03u$ e $\x03v$ funções reais de $\x03x$ e $\x03y$. As equações de Cauchy–Riemann dizem:
[ u_x = v_y ,\\quad u_y = -v_x ]

Passo 3

Além disso, a derivada complexa é dada por
[ f’(z) = u_x + i\,v_x ].

Passo 4

Como nos afirmam que $\x03f’(z)=0$ em todo $\x03Omega$, igualamos parte real e imaginária a zero:
[ u_x = 0 ,\\quad v_x = 0 ].

Passo 5

Agora, aplicando as equações de Cauchy–Riemann a partir dessas informações, temos:
[ v_y = u_x = 0 ,\\quad u_y = -v_x = 0 ].

Passo 6

Portanto todas as derivadas parciais de $\x03u$ e de $\x03v$ são zero em $\x03Omega$. Isso implica que $\x03u$ e $\x03v$ são constantes em cada componente conexa de $\x03Omega$.

Passo 7

Logo, $\x03f(z)=u+i\,v$ também é constante em $\x03Omega$.

Resposta

A função $f$ é constante em $Omega$.

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