Mostre que se
é holomorfa em
, e se
para todo
, então
é constante em
. Dica: Use a definição de derivada complexa e as equações de Cauchy-Riemann.
Passo 1
A questão quer mostrar que se uma função é holomorfa em $\x03Omega$ e sua derivada complexa $\x03f’(z)$ é zero em todo $\x03Omega$, então ela é constante. O conteúdo principal aqui é análise complexa, usando a definição de derivada complexa e as equações de Cauchy–Riemann, e precisamos lembrar que holomorfia implica que as componentes reais e imaginárias satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Como $\x03f$ é holomorfa, podemos escrevê-la como $\x03f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)$, com $\x03u$ e $\x03v$ funções reais de $\x03x$ e $\x03y$. As equações de Cauchy–Riemann dizem:
[ u_x = v_y ,\\quad u_y = -v_x ]
[ u_x = v_y ,\\quad u_y = -v_x ]
Passo 3
Além disso, a derivada complexa é dada por
[ f’(z) = u_x + i\,v_x ].
[ f’(z) = u_x + i\,v_x ].
Passo 4
Como nos afirmam que $\x03f’(z)=0$ em todo $\x03Omega$, igualamos parte real e imaginária a zero:
[ u_x = 0 ,\\quad v_x = 0 ].
[ u_x = 0 ,\\quad v_x = 0 ].
Passo 5
Agora, aplicando as equações de Cauchy–Riemann a partir dessas informações, temos:
[ v_y = u_x = 0 ,\\quad u_y = -v_x = 0 ].
[ v_y = u_x = 0 ,\\quad u_y = -v_x = 0 ].
Passo 6
Portanto todas as derivadas parciais de $\x03u$ e de $\x03v$ são zero em $\x03Omega$. Isso implica que $\x03u$ e $\x03v$ são constantes em cada componente conexa de $\x03Omega$.
Passo 7
Logo, $\x03f(z)=u+i\,v$ também é constante em $\x03Omega$.
Resposta
A função $f$ é constante em $Omega$.