Avalie a Integral:
23-integral x^2(x+1)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
Temos que avaliar
23 - integral x^2(x+1)^3,dx
Conteúdo: integração de função racional, usando substituição e decomposição em potências.

Passo 2

Fazer a troca de variável para simplificar a integral. Defina
t = x + 1 Rightarrow x = t - 1, dx = dt
Então o numerador fica
x^2 = (t - 1)^2 = t^2 - 2t + 1,
e o denominador é
(x+1)^3 = t^3
Logo
x^2(x+1)^3 = t^2 - 2t + 1t^3 = t^-1 - 2t^-2 + t^-3

Passo 3

Agora integramos termo a termo em relação a t:
integral t^-1,dt = ln|t|,
integral (-2t^-2),dt = -2 cdot l(-t^-1r) = 2t^-1,
integral t^-3,dt = t^-2-2 = -12t^-2
Somando, obtemos a primitiva:
integral x^2(x+1)^3,dx = ln|t| + 2t - 12t^2 + C

Passo 4

Voltando à variável x (lembre que t = x+1):
integral x^2(x+1)^3,dx = ln|x+1| + 2x+1 - 12(x+1)^2 + C
Então a expressão original é
23 - integral x^2(x+1)^3,dx = 23 - l(ln|x+1| + 2x+1 - 12(x+1)^2r) + C

Passo 5

Podemos absorver o 23 e o sinal de integração na constante C. Entretanto, deixando explícito:

Resposta

23 - \ln|x+1| - \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x+1)^{2}} + C

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