Avalie a Integral:
8-integral r^2r+4 d r

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a expressão envolvendo uma integral indefinida: 8 - integral r^2r+4,dr. Estamos no contexto de integrais de funções racionais, e vamos usar divisão polinomial para simplificar o integrando antes de integrar.

Passo 2

Para dividir o polinômio r^2 por r+4, fazemos a divisão longa ou notamos que (r+4)(r-4)=r^2-16, logo
r^2r+4=l(r-4r)+16r+4

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integralr^2r+4,dr=integrall(r-4r),dr+integral16r+4,dr

Passo 4

Para o primeiro integral temos
integral(r-4),dr=r^22-4r
e para o segundo
integral16r+4,dr=16lnlvert r+4rvert

Passo 5

Portanto
integralr^2r+4,dr=r^22-4r+16lnlvert r+4rvert + C

Passo 6

Por fim, voltamos à expressão original:
8-integralr^2r+4,dr=8-l(r^22-4r+16lnlvert r+4rvertr)+C

Passo 7

Simplificando e absorvendo constantes em C:
8-r^22+4r-16lnlvert r+4rvert + C

Resposta

-tfracr^22+4r-16ln|r+4|+C

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