Determine a área da região D definida abaixo.
7.2) A área do círculo D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= a^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região D definida por x^2+y^2<= a^2. O conteúdo envolvido é cálculo de área usando integração dupla e, para simplificar, vamos recorrer a coordenadas polares.

Passo 2

A área de D pode ser expressa como a integral dupla de 1 sobre D:
integral duplaD 1,dA

Passo 3

Em coordenadas polares, fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. A região D corresponde a 0<= r<= a e 0<=theta<=2pi. Assim,
integral duplaD 1,dA=integral0^2piintegral0^ar,dr,dtheta

Passo 4

Agora avaliamos a integral em duas etapas. Primeiro,
integral0^ar,dr=a^22,
e depois,
integral0^2pidtheta=2pi
Multiplicando, obtemos a área.

Passo 5

Juntando os resultados:
Área(D)=2picdota^22=pi a^2Á

Resposta

pi a^2

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