Avalie a Integral:
27-integral x^3+x^2+2 x+1(x^2+1)(x^2+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão 27 menos a integral indefinida de x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2),dx. Vamos precisar usar decomposição em frações parciais e depois aplicar integrais conhecidas: integral xx^2+a^2,dx=tfrac12ln(x^2+a^2) e integral 1x^2+a^2,dx=tfrac1aarctanl(tfracxar).

Passo 2

Decompondo x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2) em frações parciais, escrevemos
x^3+x^2+2x+1=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)

Passo 3

Igualando coeficientes em poderes de x, obtemos o sistema:
A+C=1, 2A+C=2, B+D=1, 2B+D=1

Passo 4

Da primeira dupla vem A=1, C=0. Da segunda dupla vem B=0, D=1. Assim
$$\frac{x{3}+x{2}+2x+1}{(x{2}+1)(x{2}+2)}=\frac{x}{x{2}+1}+\frac{1}{x{2}+2}.
$$

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral xx^2+1,dx=12ln(x^2+1),integral 1x^2+2,dx=1raiz2arctanl(xraiz2r)

Passo 6

Portanto
integral x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2),dx=12ln(x^2+1)+1raiz2arctanl(xraiz2r)+C

Passo 7

Por fim, subtraindo de 27, obtemos a expressão pedida.

Resposta

27-\tfrac12\ln(x^2+1)-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr)+C

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