Avalie a Integral:
27-integral 1(x^2+2 x+2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a expressão 27 menos a integral indefinida de 1⁄(x²+2x+2)². O conteúdo é integração de funções racionais, e vamos usar completar o quadrado e a fórmula padrão para ∫du∕(u²+a²)².

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em x²+2x+2:
x²+2x+2 = (x+1)² + 1²²

Passo 3

Em seguida, fazemos a substituição u = x+1, de modo que du = dx. A integral fica
integral 1(x²+2x+2)²,dx = integral 1(u²+1)²,du²²²²

Passo 4

Agora usamos a fórmula padrão (para a=1):
integral du(u²+1)² = u2(u²+1) + 12arctan(u) + C²²²

Passo 5

Voltando a x, obtemos a primitiva
integral 1(x²+2x+2)²,dx = x+12,(x²+2x+2) + 12arctan(x+1) + C²²²

Passo 6

Por fim, a expressão pedida é 27 menos essa primitiva.

Resposta

27 - x+12(x²+2x+2) - 12arctan(x+1) + C²

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