Em cada caso encontre a integral geral (familia de primitivas):
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4}+2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de primitivas da integral
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4}+2}}\,dx.
O conteúdo envolvido é o uso de substituição simples (troca de variável), aproveitando que a derivada de x^4+2 é proporcional a x^3.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{4} + 2.
Então
du = 4\,x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4}+2}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\,\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Integramos u^{-\tfrac12} usando \displaystyle\int u^{p}\,du=\frac{u^{p+1}}{p+1}:
\frac{1}{4}\,\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{4}\;\frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} + C = \frac{1}{4}\cdot 2\,u^{\tfrac12} + C = \frac{1}{2}\,\sqrt{u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u = x^{4}+2, obtemos a família de primitivas
F(x) = \frac{1}{2}\,\sqrt{x^{4}+2} + C.

Resposta

F(x) = \frac{1}{2}\,\sqrt{x^{4}+2} + C.

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