Verifique mediante derivada que:
\int \operatorname{sen}(3 x) d x=-\frac{1}{3} \cos (3 x)+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar mediante derivada que \displaystyle \int \sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C.
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas e aplicação da regra da cadeia na derivação. Para resolver, precisamos conhecer a substituição simples e a derivada de \cos(3x).

Passo 2

Calcular a integral usando substituição. Seja \,u = 3x, então \,du = 3\,dx e \,dx = \frac{du}{3}. Substituindo,
\int \sin(3x)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \sin(u)\,du = \frac{1}{3}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C.

Passo 3

Verificar derivando a primitiva F(x) = -\tfrac{1}{3}\cos(3x) + C. Pela regra da cadeia,
F'(x) = -\frac{1}{3}\bigl(-\sin(3x)\cdot 3\bigr) = \sin(3x).
Isso confirma que F'(x)=\sin(3x).

Resposta

\int \sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C.

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