Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por partes quando conveniente.
\int \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln(x)\,dx
O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções a integrar e a derivar de modo a simplificar o problema:
u = \ln(x) e dv = dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}[\ln(x)]\,dx = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int dv = \int 1\,dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \ln(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx.
Calculando a integral remanescente:
\int 1\,dx = x.
Portanto,
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x\ln(x) - x + C

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