Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{\operatorname{sen} x}{x^{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right);

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle L = \lim_{x\to0^+}\Bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{x^2}-\frac1{\sqrt x}\Bigr).
Aqui vemos que ambos os termos divergem quando x\to0^+, mas é preciso comparar qual deles domina.

Passo 2

Usamos a expansão de Taylor de ordem 3 para \operatorname{sen} x em torno de 0:
\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).
Dividindo por x^2 obtemos
\frac{\operatorname{sen} x}{x^2} = \frac{x}{x^2} - \frac{x^3}{6\,x^2} + \frac{o(x^3)}{x^2} = \frac1x - \frac x6 + o(x).

Passo 3

Subtraindo \frac1{\sqrt x} temos
\frac{\operatorname{sen} x}{x^2} - \frac1{\sqrt x} = \Bigl(\frac1x - \frac1{\sqrt x}\Bigr) - \frac x6 + o(x).

Passo 4

Ao deixar x\to0^+, a parte principal
\frac1x - \frac1{\sqrt x}
é dominada por \tfrac1x, pois
\tfrac1x\gg\tfrac1{\sqrt x}
quando x é muito pequeno. Os termos -\tfrac x6 e o(x) tendem a zero. Logo a expressão diverge para +\infty.

Resposta

\lim_{x\to0^+}\Bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{x^2}-\frac1{\sqrt x}\Bigr)=+\infty.

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