Verdadeiro ou Falso. Justifique.
se “(a, b)=(a, c)” então “[a, b]=[a, c]”.
se “(a, b)=(a, c)” então “[a, b]=[a, c]”.
Passo 1
O enunciado afirma a hipótese
e pede para decidir se a conclusão
é verdadeira ou falsa, dando justificativa.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há a igualdade de dois pares ordenados:
. - Precisa-se avaliar a igualdade entre os objetos escritos com colchetes:
e .
Observação: o problema não especifica o que exatamente os colchetes representam (podem ser, por exemplo, o par não-ordenadoou o intervalo fechado em ). A solução a seguir trata as interpretações mais naturais e mostra que, em ambas, a conclusão segue da hipótese.
Passo 2
Definição e propriedade básica sobre pares ordenados. Vou explicar com calma o que significa a igualdade
. Por definição (ou por uma construção padrão como a de Kuratowski) um par ordenado tem a propriedade fundamental:
Isto quer dizer: dois pares ordenados são iguais se, e somente se, suas componentes primeiro e segundo são iguais correspondendo coordenada a coordenada. Essa é uma propriedade que permite “extrair” coordenadas de uma igualdade de pares ordenados.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao caso dado. Da hipótese
, usando a equivalência do passo anterior, obtemos as duas igualdades de coordenadas:
A primeira é trivial; a informação útil é a segunda: concluímos que
.
Passo 4
Interpretação 1 — os colchetes representam o par não-ordenado (conjunto de duas entradas). Explico o que é isso: o símbolo
costuma, em muitos contextos elementares, denotar o conjunto de dois elementos (isto é, a unordered pair)
. A igualdade entre conjuntos significa que toda elemento de um está no outro e vice-versa. Agora, se já sabemos que
, então os dois conjuntos são exatamente os mesmos:
porque substituir
por
não altera o conjunto quando
. Formalmente: se
então, para todo
,
sse
ou
, o que é sse
ou
, isto é, sse
. Logo
. Portanto, sob esta interpretação, a conclusão é verdadeira.
Passo 5
Interpretação 2 — os colchetes representam intervalo fechado em
. Se
significa o intervalo fechado
, então a igualdade
exige que os limites superiores sejam iguais (já que as extremidades inferiores são iguais). Como do passo 3 temos
, segue diretamente que
(Se for necessário lembrar: dois intervalos do tipo
e
com a mesma extremidade esquerda
são iguais exatamente quando
.) Assim, sob a interpretação de intervalos, a conclusão também é verdadeira.
Passo 6
Comentário sobre casos possíveis e sobre por que não há contradição. Não existe um exemplo com
em que
, porque a definição de par ordenado impede isso. Portanto qualquer construção razoável de
que dependa apenas de
e
como elementos (como conjuntos
ou intervalos
) terá
sempre que
. Assim a implicação é válida.
Resposta
Verdadeiro.