Verdadeiro ou Falso. Justifique.
se “(a, b)=(a, c)” então “[a, b]=[a, c]”.

Passo 1

O enunciado afirma a hipótese (a,b) = (a,c) e pede para decidir se a conclusão [a,b] = [a,c] é verdadeira ou falsa, dando justificativa.
Informações dadas:
  • Há a igualdade de dois pares ordenados: (a,b) = (a,c).
  • Precisa-se avaliar a igualdade entre os objetos escritos com colchetes: [a,b] e [a,c].
    Observação: o problema não especifica o que exatamente os colchetes representam (podem ser, por exemplo, o par não-ordenado \{a,b\} ou o intervalo fechado [a,b] em \mathbb{R}). A solução a seguir trata as interpretações mais naturais e mostra que, em ambas, a conclusão segue da hipótese.

Passo 2

Definição e propriedade básica sobre pares ordenados. Vou explicar com calma o que significa a igualdade (x,y) = (u,v). Por definição (ou por uma construção padrão como a de Kuratowski) um par ordenado tem a propriedade fundamental:
(x,y) = (u,v)\quad\Longleftrightarrow\quad x = u \text{ e } y = v.
Isto quer dizer: dois pares ordenados são iguais se, e somente se, suas componentes primeiro e segundo são iguais correspondendo coordenada a coordenada. Essa é uma propriedade que permite “extrair” coordenadas de uma igualdade de pares ordenados.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao caso dado. Da hipótese (a,b) = (a,c), usando a equivalência do passo anterior, obtemos as duas igualdades de coordenadas:
\text{primeiras coordenadas: } a = a, \qquad \text{segundas coordenadas: } b = c.
A primeira é trivial; a informação útil é a segunda: concluímos que b = c.

Passo 4

Interpretação 1 — os colchetes representam o par não-ordenado (conjunto de duas entradas). Explico o que é isso: o símbolo [x,y] costuma, em muitos contextos elementares, denotar o conjunto de dois elementos (isto é, a unordered pair) \{x,y\}. A igualdade entre conjuntos significa que toda elemento de um está no outro e vice-versa. Agora, se já sabemos que b = c, então os dois conjuntos são exatamente os mesmos:
\{a,b\} = \{a,c\},
porque substituir c por b não altera o conjunto quando b=c. Formalmente: se b=c então, para todo x, x\in\{a,b\} sse x=a ou x=b, o que é sse x=a ou x=c, isto é, sse x\in\{a,c\}. Logo \{a,b\} = \{a,c\}. Portanto, sob esta interpretação, a conclusão é verdadeira.

Passo 5

Interpretação 2 — os colchetes representam intervalo fechado em \mathbb{R}. Se [a,b] significa o intervalo fechado \{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\}, então a igualdade [a,b]=[a,c] exige que os limites superiores sejam iguais (já que as extremidades inferiores são iguais). Como do passo 3 temos b=c, segue diretamente que
[a,b]=[a,c].
(Se for necessário lembrar: dois intervalos do tipo [a,\beta] e [a,\gamma] com a mesma extremidade esquerda a são iguais exatamente quando \beta=\gamma.) Assim, sob a interpretação de intervalos, a conclusão também é verdadeira.

Passo 6

Comentário sobre casos possíveis e sobre por que não há contradição. Não existe um exemplo com (a,b)=(a,c) em que b\neq c, porque a definição de par ordenado impede isso. Portanto qualquer construção razoável de [a,b] que dependa apenas de a e b como elementos (como conjuntos \{a,b\} ou intervalos [a,b]) terá [a,b]=[a,c] sempre que b=c. Assim a implicação é válida.

Resposta

Verdadeiro.

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