Avalie a integral integralegral duplaD(3 x^2+y^2) d A donde D=(x, y) mid-2 <= y <= 3, y^2-3 <= x <= y+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral dupla, que é tipo uma integral normal, mas em duas dimensões. A função que vamos integrar é 3x^2 + y^2 e a região D onde vamos integrar está definida por -2 <= y <= 3 e y^2 - 3 <= x <= y + 3. Para resolver isso, vamos precisar montar os limites de integração direitinho e depois calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável y varia de -2 a 3. Para cada valor de y, o x varia de y^2 - 3 até y + 3. Então, nossa integral dupla fica assim:
integraly=-2^3 integralx=y^2-3^y+3 (3x^2 + y^2) dx , dy

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte interna da integral, ou seja, a integral em relação a x. A gente integra 3x^2 + y^2 em relação a x:
integral (3x^2 + y^2) dx = x^3 + y^2x + C
Onde C é a constante de integração, que a gente ignora porque vamos subtrair nas limitações.

Passo 4

Vamos aplicar os limites de x de y^2 - 3 a y + 3:
[ (y+3)^3 + y^2(y+3) ] - [ (y^2-3)^3 + y^2(y^2-3) ]
Isso simplifica para:
(y+3)^3 + y^3 + 3y^2 - ( (y^2-3)^3 + y^4 - 3y^2 )
Simplificando mais, vamos calcular os polinômios:
(y+3)^3 = y^3 + 9y^2 + 27y + 27
(y^2-3)^3 = y^6 - 9y^4 + 27y^2 - 27
Substituindo de volta:
(y^3 + 9y^2 + 27y + 27) + y^3 + 3y^2 - (y^6 - 9y^4 + 27y^2 - 27) - y^4 + 3y^2
Organizando os termos:
2y^3 + 12y^2 + 27y + 54 - y^6 + 10y^4 - 57y^2
Simplificando ainda mais:
-y^6 + 10y^4 - 45y^2 + 2y^3 + 27y + 54

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y de -2 a 3:
integral-2^3 ( -y^6 + 10y^4 - 45y^2 + 2y^3 + 27y + 54 ) dy
Integrando cada termo:
-y^77 + 2y^5 - 15y^3 + y^42 + 27y^22 + 54y g|-2^3

Passo 6

Vamos calcular em y = 3:
-3^77 + 2 cdot 3^5 - 15 cdot 3^3 + 3^42 + 27 cdot 3^22 + 54 cdot 3
Calculando cada parte:
-21877 + 2 cdot 243 - 15 cdot 27 + 812 + 2432 + 162
-21877 + 486 - 405 + 40.5 + 121.5 + 162
-21877 + 486 - 405 + 162 + 162
-21877 + 405
Convertendo 405 para fração com denominador 7:
-21877 + 28357 = 6487
Agora, em y = -2:
-(-2)^77 + 2 cdot (-2)^5 - 15 cdot (-2)^3 + (-2)^42 + 27 cdot (-2)^22 + 54 cdot (-2)
--1287 + 2 cdot (-32) - 15 cdot (-8) + 162 + 27 cdot 42 - 108
1287 - 64 + 120 + 8 + 54 - 108
1287 + 0
1287
Subtraindo os dois valores:
6487 - 1287 = 5207

Resposta

O valor da integral dupla é 5207.

Exercícios relacionados