Transforme a seguinte integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas e resolva a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma integral tripla iterada nas coordenadas cilíndricas e resolver. A integral original é:
Vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para regiões com simetria circular. Nesse sistema, usamos , e , onde , , e permanece o mesmo. A gente também precisa do jacobiano, que é .
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Olhando para os limites de e , vemos que varia de a , e para cada , varia de a . Isso descreve um círculo de raio no plano .
Em coordenadas cilíndricas, isso significa que varia de 0 a , e varia de 0 a para cobrir todo o círculo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os limites de . A integral original tem indo de até . Em coordenadas cilíndricas, , então os limites ficam:
Passo 4
Com isso, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, o extra vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :