Transforme a seguinte integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas e resolva a integral
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4-x^2-y^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma integral tripla iterada nas coordenadas cilíndricas e resolver. A integral original é:
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2 - x^2^raiz2 - x^2 integralx^2+y^2^4 - x^2 - y^2 dz , dy , dx
Vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para regiões com simetria circular. Nesse sistema, usamos r , theta e z , onde x = r costheta , y = r sintheta , e z permanece o mesmo. A gente também precisa do jacobiano, que é r .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Olhando para os limites de x e y , vemos que x varia de -raiz2 a raiz2 , e para cada x , y varia de -raiz2 - x^2 a raiz2 - x^2 . Isso descreve um círculo de raio raiz2 no plano xy .
Em coordenadas cilíndricas, isso significa que r varia de 0 a raiz2 , e theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os limites de z . A integral original tem z indo de x^2 + y^2 até 4 - x^2 - y^2 . Em coordenadas cilíndricas, x^2 + y^2 = r^2 , então os limites ficam:
z in [r^2, 4 - r^2]

Passo 4

Com isso, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^2pi integral0^raiz2 integralr^2^4 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, o r extra vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z :
integralr^2^4 - r^2 dz = (4 - r^2) - r^2 = 4 - 2r^2
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^raiz2 r (4 - 2r^2) , dr , dtheta

Passo 6

Simplificando dentro da integral:
r (4 - 2r^2) = 4r - 2r^3
Agora, integramos em relação a r :
integral0^raiz2 (4r - 2r^3) , dr = 2r^2 - 12 r^4 |0^raiz2
Calculando os limites:
2(raiz2)^2 - 12 (raiz2)^4 = 2 cdot 2 - 12 cdot 4 = 4 - 2 = 2

Passo 7

Agora, a integral está reduzida a:
integral0^2pi 2 , dtheta = 2 cdot (2pi) = 4pi

Resposta

O valor final da integral é 4pi .

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