Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva y=1-x^2, em torno do eixo y, no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a curva
y = 1 - x^2
em torno do eixo y para x variando de 0 a 1.
O conteúdo envolvido é superfície de revolução; usaremos a fórmula
S = 2pi integrala^b l(raior),ds
onde, girando em torno do eixo y, o “raio” é x e
ds = raiz1+l(y'r)^2,dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y em relação a x:
y = 1 - x^2
y' = ddx(1 - x^2) = -2x

Passo 3

Em seguida escrevemos o elemento de comprimento
ds = raiz1+(y')^2,dx = raiz1+4x^2,dx,
e o raio ao eixo y é x. Logo a área de superfície é
S = 2pi integral0^1 x,raiz1+4x^2,dx

Passo 4

Para resolver
integral0^1 xraiz1+4x^2,dx
fazemos a substituição
u = 1 + 4x^2, du = 8x,dxLongrightarrow x,dx = du8
Então
integral xraiz1+4x^2,dx = integral raizu,du8 = 18integral u^1/2,du = 18cdot23,u^3/2 = 112,(1+4x^2)^3/2

Passo 5

Voltando aos limites x=0 e x=1, o integral vale
112l[(1+4cdot1^2)^3/2 - (1+0)^3/2r] = 112l(5^3/2-1r) = 112l(5raiz5-1r)
Multiplicando por 2pi resulta
S = 2pi cdot 112l(5raiz5-1r) = pi6,l(5raiz5-1r)

Resposta

S = pi6,l(5raiz5 - 1r)

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