Resolva e justifique os seguintes itens
Inverta a ordem de integração,integrando primeiro em" y"e depois em" x"para calcular a integral
integral0^1 integralraizy^1 sen(x^3) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me passou! O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular a integral:
integral0^1 integralraizy^1 sin(x^3) , dx , dy
Aqui, estamos trabalhando com integração dupla em cálculo, e para isso, precisamos entender os limites de integração e como eles se relacionam entre as variáveis x e y .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, y varia de 0 a 1, e para cada y , x varia de raizy até 1. Para inverter a ordem, precisamos expressar y em função de x .
Sabemos que x >= raizy implica que y <= x^2 . Então, para um dado x , y vai de 0 até x^2 .

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^1 integral0^x^2 sin(x^3) , dy , dx
Aqui, x varia de 0 a 1, e para cada x , y varia de 0 a x^2 .

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em relação a y :
integral0^x^2 sin(x^3) , dy = sin(x^3) cdot [y]0^x^2 = sin(x^3) cdot x^2
Agora, a integral fica:
integral0^1 x^2 sin(x^3) , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja u = x^3 , então du = 3x^2 dx ou du3 = x^2 dx .
Substituindo na integral:
integral0^1 x^2 sin(x^3) , dx = 13 integral0^1 sin(u) , du
Integrando sin(u) :
13 [-cos(u)]0^1 = 13 (-cos(1) + cos(0)) = 13 (1 - cos(1))

Resposta

1 - cos(1)3

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