Resolva e justifique os seguintes itens
Inverta a ordem de integração,integrando primeiro em"
"e depois em"
"para calcular a integral
Inverta a ordem de integração,integrando primeiro em"
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me passou! O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular a integral:
Aqui, estamos trabalhando com integração dupla em cálculo, e para isso, precisamos entender os limites de integração e como eles se relacionam entre as variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente,
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de
até 1. Para inverter a ordem, precisamos expressar
em função de
.
Sabemos que
implica que
. Então, para um dado
,
vai de 0 até
.
Passo 3
Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Integrando
: