Avalie a integral integral duplaD(3 x^2+y^2) d A donde D=(x, y) mid-2 <= y <= 3, y^2-3 <= x <= y+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=3x^2+y^2 sobre a região D=(x,y)mid -2<= y<=3,;y^2-3<= x<= y+3. O conteúdo principal é integral dupla e usamos a troca para integral iterada, aplicando Fubini e depois a regra de integração em uma variável de cada vez.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como iterada:

Passo 3

Passo 4

\iint_D(3x2+y2),dA = \int_{y=-2}{3}\Bigl(\int_{x=y2-3}{y+3}(3x2+y^2),dx\Bigr)dy.

Passo 5

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Passo 6

No passo interno, integramos em x:

Passo 7

Passo 8

\int(3x2+y2),dx = \int3x^2,dx + \int y^2,dx = x^3 + y^2x + C.

Passo 9

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Passo 10

Avaliamos entre x=y^2-3 e x=y+3:

Passo 11

Passo 12

x3+y2x\Bigl|_{x=y2-3}{y+3} = (y+3)^3 + y^2(y+3) - \bigl((y2-3)3 + y2(y2-3)\bigr).

Passo 13

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Passo 14

Expandimos e agrupamos termos em y. O resultado simplificado é

Passo 15

Passo 16

-y^6 +8y^4 +2y^3 -12y^2 +27y +54.

Passo 17

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Passo 18

Agora integramos esse polinômio em y de -2 a 3, usando a regra do poder:

Passo 19

Passo 20

\int -y^6,dy = -\frac{y^7}{7},\quad \int8y^4,dy = \frac{8y^5}{5},\quad \int2y^3,dy = \frac{y^4}{2},

Passo 21

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Passo 22

Passo 23

\int(-12y^2),dy = -4y^3,\quad \int27y,dy = \frac{27y^2}{2},\quad \int54,dy = 54y.

Passo 24

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Passo 25

Chamamos a soma dessas primitivas de F(y). Calculamos F(3) e F(-2) detalhadamente (usando denominador comum para somar frações) e obtemos:

Passo 26

Passo 27

F(3)=\frac{10233}{35},\quad F(-2)=-\frac{1642}{35}.

Passo 28

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Passo 29

Finalmente,

Passo 30

Passo 31

\iint_D(3x2+y2),dA = F(3)-F(-2) = \frac{10233}{35} - \Bigl(-\frac{1642}{35}\Bigr) = \frac{11875}{35} = \frac{2375}{7}.

Passo 32

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Resposta

23757

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