Avalie a integral
donde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
. O conteúdo principal é integral dupla e usamos a troca para integral iterada, aplicando Fubini e depois a regra de integração em uma variável de cada vez.
Passo 2
Escrevemos a integral dupla como iterada:
Passo 3
Passo 4
\iint_D(3x2+y2),dA = \int_{y=-2}{3}\Bigl(\int_{x=y2-3}{y+3}(3x2+y^2),dx\Bigr)dy.
Passo 5
]
Passo 6
No passo interno, integramos em
:
Passo 7
Passo 8
\int(3x2+y2),dx = \int3x^2,dx + \int y^2,dx = x^3 + y^2x + C.
Passo 9
]
Passo 10
Avaliamos entre
e
:
Passo 11
Passo 12
x3+y2x\Bigl|_{x=y2-3}{y+3} = (y+3)^3 + y^2(y+3) - \bigl((y2-3)3 + y2(y2-3)\bigr).
Passo 13
]
Passo 14
Expandimos e agrupamos termos em
. O resultado simplificado é
Passo 15
Passo 16
-y^6 +8y^4 +2y^3 -12y^2 +27y +54.
Passo 17
]
Passo 18
Agora integramos esse polinômio em
de
a
, usando a regra do poder:
Passo 19
Passo 20
\int -y^6,dy = -\frac{y^7}{7},\quad \int8y^4,dy = \frac{8y^5}{5},\quad \int2y^3,dy = \frac{y^4}{2},
Passo 21
]
Passo 22
Passo 23
\int(-12y^2),dy = -4y^3,\quad \int27y,dy = \frac{27y^2}{2},\quad \int54,dy = 54y.
Passo 24
]
Passo 25
Chamamos a soma dessas primitivas de
. Calculamos
e
detalhadamente (usando denominador comum para somar frações) e obtemos:
Passo 26
Passo 27
F(3)=\frac{10233}{35},\quad F(-2)=-\frac{1642}{35}.
Passo 28
]
Passo 29
Finalmente,
Passo 30
Passo 31
\iint_D(3x2+y2),dA = F(3)-F(-2) = \frac{10233}{35} - \Bigl(-\frac{1642}{35}\Bigr) = \frac{11875}{35} = \frac{2375}{7}.
Passo 32
]