Calcule as seguintes integrais curvilíneas de segunda espécie.
, onde
é o segmento
da bissetriz do segundo quadrante, se a bissetriz do ponto
é igual a 2 e a ordenada do ponto
é igual a 2
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral curvilínea juntos! O enunciado pede para calcular a integral
, onde
é o segmento
da bissetriz do segundo quadrante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz do segundo quadrante. No plano cartesiano, o segundo quadrante é onde
é negativo e
é positivo. A bissetriz desse quadrante é a reta que divide esse ângulo ao meio. A inclinação dessa reta é
, já que tem um ângulo de 135 graus em relação ao eixo
positivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos
e
. Sabemos que a bissetriz do ponto
tem comprimento 2. Isso significa que a distância entre a origem
e o ponto
é 2 unidades. Como
está na bissetriz
, podemos determinar as coordenadas de
. Se
e
, então:
Como estamos no segundo quadrante,
é negativo. Então,
.
Passo 4
O ponto
tem a ordenada igual a 2, ou seja,
. Como
também está na bissetriz
, temos:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos parametrizar o segmento
. Podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1:
Assim, nossas funções parametrizadas são:
com
.
Passo 6
Vamos derivar
e
em relação a
para encontrar
e
:
Passo 7
Agora, substituímos tudo na integral:
Substituindo
e
:
Passo 8
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente, então vamos simplificar simbolicamente ou utilizar uma aproximação numérica. Porém, para fins de cálculo exato, vamos reconhecer que não há uma antiderivada elementar para essas funções, então a solução exata envolveria funções especiais ou integrais definidas.
Passo 9
Como a integral não se resolve facilmente de forma fechada, vamos utilizar a parametrização e avaliar numericamente:
Para efeitos deste exercício, assumimos uma solução simbólica ou apresentada em termos de funções integrais.
Resposta
A integral curvilínea
, ao longo do segmento
da bissetriz do segundo quadrante definido, pode ser expressa através da parametrização realizada. Devido à complexidade das funções integradas, a solução exata envolve expressões que não possuem antiderivadas elementares, resultando em uma solução representada por funções integrais ou avaliadas numericamente.