Calcule a integral dupla iterada integral0^e integral0^ln (x) x^3 d y d x invertendo a ordem de integração

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^e!integral0^ln(x) x^3,dy,dx
invertendo a ordem de integração. O conteúdo é inversão de ordem em integral dupla. Repare que, geometricamente, a condição 0<= y<=ln(x) só dá região não-vazia quando ln(x)>=0, ou seja x>=1. Logo podemos restringir a integral a
1<= x<= e, 0<= y<=ln(x)

Passo 2

Descrevemos a mesma região D em termos de y primeiro:
D=(x,y)mid 1<= x<= e,;0<= y<=ln(x)
Para inverter, isolamos x em função de y:
;y<=ln(x)iff x>= e^y, e como x<= e temos
0<= y<= ln(e)=1, e^y<= x<= e
Portanto
integral1^e!integral0^ln(x) x^3,dy,dx = integraly=0^1!integralx=e^y^e x^3,dx,dy

Passo 3

Calculamos a integral interna em x:
integrale^y^e x^3,dx = l[x^44r]x=e^y^x=e = e^4-e^4y4

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1e^4-e^4y4,dy =14l[ integral0^1e^4,dy - integral0^1e^4y,dy r]
Calculando cada parte:
integral0^1e^4,dy =e^4cdot1 =e^4, integral0^1e^4y,dy =l[e^4y4r]0^1 =e^4-14
Logo
integral0^1e^4-e^4y4,dy =14l(e^4-e^4-14r) =14cdot4e^4-(e^4-1)4 =3e^4+116

Resposta

integral0^e!integral0^ln(x) x^3,dy,dx =3e^4+116

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