Sabendo que a reta
é tangente ao gráfico da função
em
, podemos afirmar que
pertence ao intervalo:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função
. - A reta
, que pode ser escrita como . - A reta é tangente ao gráfico de
no ponto .
O que é pedido: - Determinar a qual dos intervalos fornecidos pertence o valor de
.
Passo 2
Condição necessária e suficiente para que uma reta seja tangente ao gráfico de
no ponto
:
- O ponto
pertence ao gráfico de , ou seja, . - A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
é igual à derivada .
Aqui a reta tem inclinação(porque ), então devemos ter e também .
Passo 3
Vamos calcular
. Escrevendo
de forma que facilite a derivação:
Usamos a regra da cadeia: se
então
.
Multiplicando por (constante externa) obtemos
Multiplicando por
Em outra escrita útil,
Passo 4
Impondo a condição da inclinação igual a
:
Dividindo por
obtemos
logo
Isso dá duas possibilidades para
:
Resolvendo cada uma:
- Se
então e . - Se
então e .
Portanto os candidatos obtidos pela condição de inclinação são
e
.
Passo 5
Agora aplicamos a segunda condição: o ponto
deve estar sobre a reta
, ou seja,
.
Testamos os candidatos:
Testamos os candidatos:
Para
:
A reta em
vale
.
Como , o ponto
não está na reta dada. Logo
é descartado.
Como
Para
:
A reta em
vale
Como
coincide com o valor da reta, o ponto
pertence tanto ao gráfico de
quanto à reta. Assim
é a solução válida.
Passo 6
Identificamos
. Agora verificamos qual opção de intervalo contém
.
Observando as opções, está no intervalo
, que corresponde à opção b.
Observando as opções,
Resposta
b.