Sabendo que a reta y-6 x+6=0 é tangente ao gráfico da função f(x)=\frac{2}{1-3 x} em P=(a, b), podemos afirmar que a pertence ao intervalo:
Escolha uma opção:
◯ a. (-\infty,-1]
◯ b. (1 / 3,1)
◯ c. (-1 / 2,1 / 3)
◯ d. (-1,-1 / 2]
◯ e. (1,+\infty)

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função f(x)=\dfrac{2}{1-3x}.
  • A reta y-6x+6=0, que pode ser escrita como y=6x-6.
  • A reta é tangente ao gráfico de f no ponto P=(a,b).
    O que é pedido:
  • Determinar a qual dos intervalos fornecidos pertence o valor de a.

Passo 2

Condição necessária e suficiente para que uma reta seja tangente ao gráfico de f no ponto P=(a,b):
  1. O ponto P pertence ao gráfico de f, ou seja, b=f(a).
  2. A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em x=a é igual à derivada f'(a).
    Aqui a reta tem inclinação 6 (porque y=6x-6), então devemos ter f'(a)=6 e também f(a)=6a-6.

Passo 3

Vamos calcular f'(x). Escrevendo f de forma que facilite a derivação:
f(x)=2(1-3x)^{-1}.
Usamos a regra da cadeia: se g(x)=(1-3x)^{-1} então g'(x)=-1\cdot(1-3x)^{-2}\cdot(-3)=3(1-3x)^{-2}.
Multiplicando por 2 (constante externa) obtemos
f'(x)=2\cdot 3(1-3x)^{-2}=6(1-3x)^{-2}.
Em outra escrita útil,
f'(x)=\dfrac{6}{(1-3x)^{2}}.

Passo 4

Impondo a condição da inclinação igual a 6:
f'(a)=\dfrac{6}{(1-3a)^{2}}=6.
Dividindo por 6 obtemos
\dfrac{1}{(1-3a)^{2}}=1,
logo
(1-3a)^{2}=1.
Isso dá duas possibilidades para 1-3a:
1-3a=1\quad\text{ou}\quad 1-3a=-1.
Resolvendo cada uma:
  • Se 1-3a=1 então -3a=0 e a=0.
  • Se 1-3a=-1 então -3a=-2 e a=\dfrac{2}{3}.
Portanto os candidatos obtidos pela condição de inclinação são a=0 e a=\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Agora aplicamos a segunda condição: o ponto (a,f(a)) deve estar sobre a reta y=6x-6, ou seja, f(a)=6a-6.
Testamos os candidatos:
Para a=0:
f(0)=\dfrac{2}{1-0}=\dfrac{2}{1}=2.
A reta em x=0 vale 6\cdot 0-6=-6.
Como 2\neq -6, o ponto (0,f(0)) não está na reta dada. Logo a=0 é descartado.
Para a=\dfrac{2}{3}:
1-3\cdot\dfrac{2}{3}=1-2=-1,
f\!\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{2}{-1}=-2.
A reta em x=\dfrac{2}{3} vale
6\cdot\dfrac{2}{3}-6=4-6=-2.
Como f\!\left(\dfrac{2}{3}\right)=-2 coincide com o valor da reta, o ponto \left(\dfrac{2}{3},-2\right) pertence tanto ao gráfico de f quanto à reta. Assim a=\dfrac{2}{3} é a solução válida.

Passo 6

Identificamos a=\dfrac{2}{3}. Agora verificamos qual opção de intervalo contém \dfrac{2}{3}.
Observando as opções, \dfrac{2}{3} está no intervalo \left(\dfrac{1}{3},1\right), que corresponde à opção b.

Resposta

b. \left(\dfrac{1}{3},1\right)

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