Estude a convergência da sequência a_{n}=\frac{3^{n}}{2^{n}+1}.
Obs. Responda 8 se divergir para +\infty e -8 se divergir para -\infty.

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{3^{n}}{2^{n}+1} e pede para estudar a convergência dela.
Informação adicional do enunciado: se a sequência diverge para +\infty devo responder 8; se diverge para -\infty devo responder -8.
O objetivo aqui é determinar o comportamento de \{a_n\} quando n\to\infty: converge para um número finito, ou diverge (e, se diverge, para +\infty ou para -\infty).

Passo 2

Uma transformação algébrica útil é dividir numerador e denominador por 2^{n} (note que 2^{n}>0 para todo n, então a divisão é válida). Fazendo isso obtemos a forma
a_{n}=\frac{3^{n}}{2^{n}+1}=\frac{\dfrac{3^{n}}{2^{n}}}{\dfrac{2^{n}}{2^{n}}+\dfrac{1}{2^{n}}}=\frac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}}{1+\dfrac{1}{2^{n}}}.
Esta forma é mais indicada para comparar o crescimento do numerador com o do denominador.

Passo 3

Estudo do denominador: analisar o comportamento de \dfrac{1}{2^{n}} quando n\to\infty. Como 0<\dfrac{1}{2}<1, a potência \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} tende a 0 quando n\to\infty. Logo
1+\dfrac{1}{2^{n}}\longrightarrow 1\quad\text{quando }n\to\infty.
Em palavras: o denominador da expressão em Passo 2 tende para 1.

Passo 4

Estudo do numerador: analisar \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}. Como \dfrac{3}{2}>1, as potências de um número maior que 1 crescem sem limite; isto é,
\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}\longrightarrow +\infty\quad\text{quando }n\to\infty.
Para ver isto de forma um pouco mais formal: dado M>0, escolher N tal que \left(\dfrac{3}{2}\right)^{N}>2M (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{\ln(2M)}{\ln(3/2)}\right\rceil funciona porque \ln(3/2)>0). Então para todo n\ge N tem-se \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}>2M. Isso mostra que \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n} é arbitrariamente grande quando n aumenta — portanto tende a +\infty.

Passo 5

Combinação dos comportamentos: a sequência foi escrita em Passo 2 como
a_{n}=\frac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}}{1+\dfrac{1}{2^{n}}}.
Sabemos que o numerador tende a +\infty e o denominador tende a 1 (um número finito e não nulo). Intuitivamente, se o numerador cresce sem limite e o denominador se aproxima de uma constante positiva, o quociente também cresce sem limite. Para deixar isso rigoroso, faça uma desigualdade prática: para n\ge 1 tem \dfrac{1}{2^{n}}\le 1, logo 1+\dfrac{1}{2^{n}}\le 2. Assim, para n\ge 1,
a_{n}=\frac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}}{1+\dfrac{1}{2^{n}}}\ge \frac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}}{2}=\frac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}.
Como \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}\to+\infty (multiplicar por \tfrac12 não altera o fato de divergir para +\infty), segue que a_{n}\to+\infty. Em termos formais: dado M>0, escolher N tal que \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}>2M para n\ge N; então para tais n tem a_n>\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}>M. Isso prova que a_n diverge para +\infty.

Passo 6

Conclusão e interpretação final: a sequência \left(a_{n}\right) não converge para um número finito; ela cresce sem limite e diverge para +\infty. Pelo enunciado devo então responder com o número indicado para esse caso.

Resposta

8

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