Estude a convergência da sequência
.
Obs. Responda 8 se divergir para
e -8 se divergir para
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para estudar a convergência dela.
Informação adicional do enunciado: se a sequência diverge para devo responder
; se diverge para
devo responder
.
O objetivo aqui é determinar o comportamento de quando
: converge para um número finito, ou diverge (e, se diverge, para
ou para
).
Informação adicional do enunciado: se a sequência diverge para
O objetivo aqui é determinar o comportamento de
Passo 2
Uma transformação algébrica útil é dividir numerador e denominador por
(note que
para todo
, então a divisão é válida). Fazendo isso obtemos a forma
Esta forma é mais indicada para comparar o crescimento do numerador com o do denominador.
Passo 3
Estudo do denominador: analisar o comportamento de
quando
. Como
, a potência
tende a
quando
. Logo
Em palavras: o denominador da expressão em Passo 2 tende para
.
Passo 4
Estudo do numerador: analisar
. Como
, as potências de um número maior que
crescem sem limite; isto é,
Para ver isto de forma um pouco mais formal: dado
, escolher
tal que
(por exemplo
funciona porque
). Então para todo
tem-se
. Isso mostra que
é arbitrariamente grande quando
aumenta — portanto tende a
.
Passo 5
Combinação dos comportamentos: a sequência foi escrita em Passo 2 como
Sabemos que o numerador tende a
e o denominador tende a
(um número finito e não nulo). Intuitivamente, se o numerador cresce sem limite e o denominador se aproxima de uma constante positiva, o quociente também cresce sem limite. Para deixar isso rigoroso, faça uma desigualdade prática: para
tem
, logo
. Assim, para
,
Como
(multiplicar por
não altera o fato de divergir para
), segue que
. Em termos formais: dado
, escolher
tal que
para
; então para tais
tem
. Isso prova que
diverge para
.
Passo 6
Conclusão e interpretação final: a sequência
não converge para um número finito; ela cresce sem limite e diverge para
. Pelo enunciado devo então responder com o número indicado para esse caso.
Resposta
8