1. Seja um arame cuja forma é um arco de circunferência de raio a no primeiro quadrante. Sua densidade é dada por \rho(x, y)=x^{2}+y^{2}+1.
    (a) (2,0 pts.) Calcule a massa do arame.
    (b) (2,0 pts.) Determine o centro de massa do arame.

Passo 1

O enunciado descreve um arame em forma de arco de circunferência de raio a no primeiro quadrante. A densidade linear ao longo do arame é dada por \rho(x,y)=x^{2}+y^{2}+1.
Vamos precisar parametrizar o arco, expressar o elemento de comprimento ds, escrever \rho em função do parâmetro e então usar
m = \int \rho\,ds,
x_{\rm cm} = \frac1m \int x\,\rho\,ds, \quad y_{\rm cm} = \frac1m \int y\,\rho\,ds.

Passo 2

Parametrização do arco e cálculo de ds e de \rho.
Tomamos
x(t) = a\cos t,\quad y(t)=a\sin t, \quad t\in[0,\tfrac\pi2].
Então
\frac{dx}{dt}=-a\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=a\cos t \quad\Longrightarrow\quad ds = \sqrt{\bigl(-a\sin t\bigr)^{2} + \bigl(a\cos t\bigr)^{2}}\;dt = a\,dt.
Em seguida,
\rho\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(a\cos t\bigr)^{2} + \bigl(a\sin t\bigr)^{2} + 1 = a^{2}\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr) + 1 = a^{2} + 1.

Passo 3

Cálculo da massa m.
m = \int_{0}^{\pi/2} \rho\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,ds = \int_{0}^{\pi/2} (a^{2}+1)\,(a\,dt) = a\,(a^{2}+1)\int_{0}^{\pi/2} dt = a\,(a^{2}+1)\,\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Cálculo dos momentos para x_{\rm cm} e y_{\rm cm}.
Para x:
\int x\,\rho\,ds = \int_{0}^{\pi/2} \bigl(a\cos t\bigr)\,(a^{2}+1)\,(a\,dt) = a^{2}(a^{2}+1)\int_{0}^{\pi/2}\cos t\,dt = a^{2}(a^{2}+1)\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{\pi/2} = a^{2}(a^{2}+1).
Para y:
\int y\,\rho\,ds = \int_{0}^{\pi/2} \bigl(a\sin t\bigr)\,(a^{2}+1)\,(a\,dt) = a^{2}(a^{2}+1)\int_{0}^{\pi/2}\sin t\,dt = a^{2}(a^{2}+1)\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi/2} = a^{2}(a^{2}+1).

Passo 5

Cálculo das coordenadas do centro de massa.
x_{\rm cm} = \frac{1}{m}\int x\,\rho\,ds = \frac{a^{2}(a^{2}+1)}{a\,(a^{2}+1)\,\tfrac{\pi}{2}} = \frac{2a}{\pi},
y_{\rm cm} = \frac{1}{m}\int y\,\rho\,ds = \frac{a^{2}(a^{2}+1)}{a\,(a^{2}+1)\,\tfrac{\pi}{2}} = \frac{2a}{\pi}.

Resposta

(a)
m = \frac{\pi\,a\,(a^{2}+1)}{2}.
(b)
(x_{\rm cm},\,y_{\rm cm}) = \Bigl(\tfrac{2a}{\pi},\,\tfrac{2a}{\pi}\Bigr).

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