Avalie a integral:
integral0^1 x^3+2 xx^4+4 x^2+3 d x
Dica: fazer uma substituição simples e, em seguida, mudar os limites de integraça

Passo 1

Temos a integral integral0^1x^3+2xx^4+4x^2+3,dx. O conteúdo envolve reconhecer que o numerador é proporcional à derivada do denominador, então vamos usar substituição simples (u-substituição) e mudança de limites.

Passo 2

Definimos a substituição u = x^4 + 4x^2 + 3. Calculando o diferencial: du = (4x^3 + 8x),dx = 4(x^3+2x),dx. Logo, (x^3+2x),dx = du4, e o denominador fica u.

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração: quando x=0, temos u(0)=3; quando x=1, temos u(1)=1+4+3=8. Assim a integral vira
14integral3^8duu.

Passo 4

Sabendo que integralduu=ln|u|, obtemos
14l[ln|u|r]3^8 = 14(ln 8 - ln 3) = 14ln83

Resposta

14ln83

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