Avalie a integral integral0^x e^-t^2 d t como uma série infinita.
Sugestão: Substitua x por -x^2 na sére de Maclaurin: e^x=sumn=0^infty x^nn!.

Passo 1

O problema pede para expressar a integral integral0^xe^-t^2,dt como uma série infinita. O assunto principal aqui é séries de potências (Maclaurin) e integração termo a termo. Vamos usar a série de Maclaurin de e^u e então substituir u=-t^2 para obter a expansão de e^-t^2, e depois integrar cada termo.

Passo 2

Primeiro, lembramos a série de Maclaurin de e^u:
e^u ,=,sumn=0^inftyu^nn!

Passo 3

Fazendo a substituição u=-t^2 na série acima, obtemos a série para e^-t^2:
e^-t^2 ,=,sumn=0^infty(-t^2)^nn! ,=,sumn=0^infty(-1)^nn!,t^2n

Passo 4

Agora, integramos termo a termo de t=0 até t=x. Como a série converge uniformemente em qualquer intervalo finito, podemos trocar soma e integral:
integral0^xe^-t^2,dt ,=,integral0^xsumn=0^infty(-1)^nn!t^2n,dt ,=,sumn=0^infty(-1)^nn!integral0^xt^2n,dt

Passo 5

Para cada n, temos
integral0^xt^2n,dt ,=,x^2n+12n+1
Substituindo de volta, concluímos que
integral0^xe^-t^2,dt ,=,sumn=0^infty(-1)^nn!,x^2n+12n+1

Resposta

integral0^xe^-t^2,dt=sumn=0^infty(-1)^nn!,(2n+1),x^2n+1

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