Avalie a integral
como uma série infinita.
Sugestão: Substitua
por
na sére de Maclaurin:
.
Passo 1
O problema pede para expressar a integral
como uma série infinita. O assunto principal aqui é séries de potências (Maclaurin) e integração termo a termo. Vamos usar a série de Maclaurin de
e então substituir
para obter a expansão de
, e depois integrar cada termo.
Passo 2
Primeiro, lembramos a série de Maclaurin de
:
Passo 3
Fazendo a substituição
na série acima, obtemos a série para
:
Passo 4
Agora, integramos termo a termo de
até
. Como a série converge uniformemente em qualquer intervalo finito, podemos trocar soma e integral:
Passo 5
Para cada
, temos
Substituindo de volta, concluímos que